RE: Ayuda con problema de matemàticas

Dado el vector A=(1,2,-1),  calcula las operaciones necesarias para construir una base r^3 que contenga un vector con la misma dirección que A y sea:

a. Ortogonal

b.Ortonormal

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2 Respuestas

Solución

¡Hola! Recuerda que una base es un conjunto de vectores linealmente independientes que general el espacio vectorial. Además,

  • Una base ortogonal es aquella en la que todos los vectores son ortogonales: es decir, el producto escalar entre vectores distintos es 0.
  • Una base ortonormal es ortogonal y además el módulo de cada vector es 1. Es decir, <v,v>=1 para todo vector.

Primero construimos una base ortogonal. Para ello extendemos el vector A a una base de R3 y después aplicamos el proceso de ortogonalización de Gram-Schmidt. Primero tomamos los vectores (1,0,0) y (0,1,0) para completar la base. Comprobamos que sean linealmente independientes haciendo el determinante:

RE: Ayuda con problema de matemàticas

Como el determinante es distinto de cero, son linealmente independientes. Tres vectores linealmente independientes de R3 generan R3, es decir, son una base. Ahora tenemos que convertirla en ortogonal. Llamamos a la base que tenemos v1=(1,2,-1), v2=(1,0,0) y v3=(0,1,0). El objetivo es construir una base ortogonal u1, uy u3. Seguimos el procedimiento de Gram-Schmidt:

  • El primer vector lo dejamos igual: u1=v1=A.
  • El segundo vector lo tenemos que convertir en ortogonal a A. Para ello le restamos la proyección en la dirección de A:

RE: Ayuda con problema de matemàticas

  • Ahora tenemos u1 y u2, que son ortogonales entre sí. El tercer vector lo obtenemos restando a v3 las proyecciones en las direcciones dadas por u1 y u2.

RE: Ayuda con problema de matemàticas

Así, tenemos la siguiente base ortogonal:

RE: Ayuda con problema de matemàticas

Para formar la base ortonormal solo tenemos que normalizar todos los vectores, es decir, dividir por su módulo.  Calculamos los módulos:

RE: Ayuda con problema de matemàticas

Y la base ortonormal es la base ortogonal en la que cada elemento se divide por su módulo (no pongo los detalles porque es un poco farragoso, pero creo que se entiende):

RE: Ayuda con problema de matemàticas

¡Un saludo!

Maestro Respuesta escrita el 20 de marzo de 2020.
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