RE: Calcular la Pendiente Máxima de una función Logística

Dada la función logistica en formato canonico:

P(t) = (P0*K*e^(r*t))/(P0+(K*(e^(-r*t)-1)))

donde K, P0 ,r,t son Numeros Reales y positivos, K,  P0, t son numeros enteros, r es decimal (entre 0 y 1).

P0  >= 1

K = limite de Carga  de la función. (asintota horizontal a la que la funcion se aproxima en el limite.

r = coeficiente de sensibilidad de la curva

t = tiempo en periodos

Necesito encontrar el valor de t que hace la dP/dt maxima en forma de ecuación para un r,K,P0 dados.

gracias!

Crear comentario
3 Respuestas

Hola de nuevo:

Siento haber tardado tanto en responder, he estado de vacaciones un mes y he desconectado bastante… Sobre las discrepancias que mencionas en las gráficas la verdad es que no te puedo decir mucho, más que nada porque se deberán a detalles muy específicos de las fórmulas que hayas usado, cómo las hayas representado etc.

Respecto a cómo obtener la versión basada en P_0, la que denominas A, a partir de la forma canónica, es más sencillo que hacerlo a la inversa. En primer lugar, como el tiempo inicial en la versión canónica es cero, tienes que:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Esto tiene lógica porque tal y como está definida la función canónica, de manera simétrica respecto al eje y y entre 0 y K, en el punto medio la población es precisamente la mitad de K. Si sustituyes estos valores en la fórmula canónica:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Por último, respecto a si esta función puede servir para modelar la compra de productos no lo tengo muy claro. Ten en cuenta que la clave de la aparición de exponenciales proviene de la suposición de que el ratio de crecimiento total es proporcional a la propia función. El caso más sencillo es el crecimiento de una población sin competición y sin presas: el crecimiento del número de individuos viene dado por una constante multiplicada por el propio número de individuos:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

que tiene como solución:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Tiene sentido que aparezca aquí la exponencial, ya que si piensas en unas bacterias que se reproducen, si la primera genera dos, y luego cada una genera dos y así sucesivamente, la población aumenta de manera exponencial, como potencias de dos. El caso de la función logística, al menos en su origen como modelo de poblaciones, es que es la solución a la siguiente ecuación diferencial:

RE: Calcular la Pendiente Máxima   de una función Logística

Esta ecuación dice que, a medida que aumenta la población, como el ecosistema solo puede soportar K individuos, el ratio de crecimiento disminuye hasta que, cuando y=K, se vuelve 0 y la población se estabiliza en K. Todo esto lo digo porque no veo que el caso de los compradores sea análogo a las bacterias en el sentido de que, la gente que compra no contribuye a “la reproducción de los compradores”, es decir, el ratio de aumento del número de compradores no parece depender directamente del número de compradores que haya. Falta ese comportamiento exponencial que sí se manifiesta en la reproducción de seres vivos y que hace que la función logística se use para modelarlos. De todas maneras, es solo una elucubración, a decir verdad no sé si se adecuará a la realidad, con qué grado de precisión, etc.

¡Un saludo!

 

Discípulo Respuesta escrita el 20 de febrero de 2019.
Crear comentario

Escribe tu respuesta

Al hacer click en "Responder" certificas que has leído y aceptas nuestra Política de privacidad y Términos de servicio.