RE: Campos conservativos

Buenas !

Estoy estudiando el tema de campos conservativos. No me cuadra una cosa. ¿Qué diferencia hay entre que un campo sea conservativo y que sea un irrotacional? Encuentro información confusa por internet, por no decir información contradictoria. En algunos sitios leo que es equivalente una cosa y la otra, pero en otros dice que no.

Gracias

anxomora Estudiante Enviada el 27 de febrero de 2018 a Funciones n variables.
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1 Respuestas

Solución

Hola

A ver si puedo ayudarte.

Se dice que

f es un irrotacional ⇔ rot f = 0.

Nada más que añadir. Es una equivalencia porque es una definición. Irrotacional significa rotacional igual a cero. Nada más.

Un campo conservativo y un irrotacional no son la misma cosa. Están relacionados, pero no es lo mismo.

Para que un campo sea conservativo tienen que cumplirse cualquiera de estas tres condiciones (que realmente son equivalentes entre ellas): que sea el gradiente de un cierto φ, que la integral para toda curva cerrada dé siempre cero y que la integral entre dos puntos no dependa de la curva para ir de uno a otro.

¿Cuál es la relación entre los campos conservativos y los irrotacionales?

Se puede demostrar que un campo conservativo es siempre un irrotacional

f conservativo ⇒ rot f = 0  (irrotacional)

Pero la implicación contraria no tiene por qué ser cierta. Es decir, que el rot f = 0 no te asegura que el campo sea conservativo.

En general    rot f = 0  (irrotacional)    NO IMPLICA     f conservativo

Si quieres una implicación que te asegure que el campo es conservativo necesitas algo más que demostrar que rot f = 0. Hay varias condiciones que servirían. Yo te voy a escribir aquí la que se utiliza normalmente en ingeniería:

Si f es irrotacional (rot f = 0) en K, y K es una región simplemente conexa ⇒ f es conservativo

Cuidado, que se trata de una implicación, no una equivalencia.

Si te queda alguna duda me dices.

Saludos



Esta respuesta resuelve la pregunta

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invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 2 de marzo de 2018.

Joder, pues yo he visto sitios donde decían que si rotf=0 entonces el campo era conservativo.

anxomora Estudiante el 3 de marzo de 2018.

Internet tiene muchas cosas buenas y también algunas malas. Hay demasiado información por ahí, y desgraciadamente muchas veces no es información correcta.

Yo también he visto en Yahoo Grupos una respuesta incorrecta sobre campos conservativos. Dicen eso, que si el campo es irrotacional entonces es conservativo. Mal. Lo escribe gente que no sabe lo suficiente, quizás porque a ellos tampoco se lo han explicado bien. En muchas asignaturas se tocan temas en los que no se profundiza y luego lo que ocurre es que esos estudiantes sólo saben la mitad de la verdad. Lo peligroso es cuando estos que sólo saben la mitad de la verdad no son conscientes de ello y van dando por ahí consejos a los demás.

Si quieres te doy un contraejemplo para que veas que si rotf=0 el campo no tiene por qué ser conservativo.

De hecho si fuera así, Green no hubiera creado el Teorema de Green para regiones multiplemente conexas. Un campo puede tener rotf=0 y al integral sobre una curva cerrada obtener un resultado diferente de cero, y por lo tanto ese f no es conservativo. Lo he explicado en mis clases cientos de veces a mis alumnos.

Si necesitas profundizar más me dices.

Saludos

Lauel : ) Maestro el 3 de marzo de 2018.
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