Hola Mathias.

Disculpa el retraso. Creo que todos los que solemos responder preguntas nos hemos tomado las vacaciones de verano muy en serio. Ya de vuelta en mi rutina laboral intentaré sacar un ratito cada día para ayudar todo lo que pueda.

Con lo que adjuntas es difícil resolver tu duda.

Parece que el texto está hablando de límites de sucesiones y que lo que intentan es justificar que cuando n→∞ un logaritmo (de cualquier base > 1)  es siempre «más lento» que una sucesión del tipo n^x (con x>0), que incluyen a estructuras polinómicas y raíces.

Es un trozo de teoría muy práctica para hallar límites que yo suelo llamar «escala de infinitos». Me ha resultado curioso verla escrita con notación de Landau (la «o grande»). Yo lo hubiera escrito así

Cuando n→∞ se cumple que                        ln(n)  <  n^a     (con a>0)

Lo que preguntas de la definición de límite… Habría que ver cómo dan en ese libro la definición de límite de una sucesión. Normalmente se da así

Una sucesión (a_n) tiene a L

⇔

Yo supongo que la «c» del texto que has resaltado debe ser la ε de la definición que te escribo yo y que las cotas 1/2 *c  y 2*c  salen de la desigualdad de la definición.

¿Puedes adjuntar una imagen de la definición de límite según ese libro?

Saludos