RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Hola!

Tengo que comprobar si estas sucesiones de funciones convergen uniformemente.

Cómo comprobar convergencia uniforme

La primera hay que analizara en el intervalo [0,1]. Siempre lo hacemos calculando el máximo de la diferencia de la función con la función límite haciendo la derivada y dejándolo todo en función de n, y luego calculamos el límite de ese máximo para ver si tiende a cero. En la primera me sale una expresión algo complicada y no sé cómo calcular el límite, así que no sé si me habré equivocado en los cálculos. En la segunda no sé cómo hacerla porque lo de derivar aquí no sirve.

Gracias por la ayuda!

MarioF Novato Enviada el 19 de diciembre de 2018 a Sucesiones de funciones.
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1 Respuestas

Hola!

Primer apartado:

Primero, como siempre, tienes que calcular el límite puntual de la función. En este caso es la función cero en todos los puntos. En los extremos la función es cero siempre, independientemente del valor de n. Y en el resto, tienes que 1-x^2 es menor que uno, con lo que ese término elevado a n tiende a cero. Si alfa es menor que cero entonces tienes cero por cero, y si alfa es mayor que cero tienes indeterminación cero por infinito, pero da cero porque el infinitésimo de orden exponencial -1-x^2 elevado a n- tiende a cero mucho más rápido que el infinito de orden potencial -n elevado a alfa-, para cualquier alfa.

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Para comprobar la convergencia uniforme en este caso se puede hacer como dices e intentar hallar el extremo de la función derivando:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Se puede dividir tranquilamente por 1-x^2 porque no consideramos x=1 ni x=0, ya que en estos puntos la función vale 0, con lo que el máximo no se alcanzará aquí. El valor de ese extremo es:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Para que la función tienda uniformemente a cero, este máximo tiene que tender a cero también. La parte de la derecha no depende de alfa y tiende a una constante:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Por tanto, la parte que determinará si tiende a cero o no será la de la izquierda. En este caso, el límite es:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Es decir, en función de estos valores de alfa, el máximo de la función en el intervalo [0,1] tiende a infinito, a una constante o es cero. Esto nos dice que: si alfa es mayor que 1/2, no tiende uniformemente a la función 0; si alfa es igual a 1/2, tampoco tiende uniformemente a cero; pero si alfa es menor que un medio, sí tiende uniformemente a 0.

Para el siguiente apartado no se puede seguir el mismo método, pero tampoco es mucho más complicado. La función 1/x tiende a infinito cuando x tiende a cero, con lo que si estamos suficientemente cerca del cero, el ínfimo de 1/x y n será n. En concreto, tenemos:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Es decir

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Por tanto, como el intervalo en el que la función es n tiende a cero, para todo punto acaba valiendo 1/x, con lo que el límite puntual es la función 1/x. Para ver si tiende uniformemente hay que mirar si la distancia máxima de la función a su límite puntual se reduce a cero. En este caso el trozo de función que vale n tiende a infinito también, pero tiene un valor constante para una n fija. Si cogemos una x dentro del intervalo (0,1/n) la función valdrá n. Sin embargo, para cualquier M que tengamos, se cumple que:

RE: Cómo comprobar convergencia uniforme

Como x<1/(n+M) está dentro del intervalo (0,1/n) vemos que para cualquier n podemos encontrar un todo un intervalo de valores de x para los que la distancia a la función f_n(x) es tan grande como queramos (más grande que un M arbitrario). Por tanto, no tiende uniformemente a 1/x. De hecho, el supremo de la distancia entre la función y su límite puntual es infinito para toda n.

Discípulo Respuesta escrita el 20 de diciembre de 2018.
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