RE: ¿Cómo parametrizar una curva?
¿Qué tal?
Traigo un ejercicio de integración sobre curvas. Necesito parametrizar esta curva
x2+y2=1 , z=xy desde (1,0,0) hasta (0,1,0)
Lo hice despejando de x2+y2=1 a la y en función de x y luego sustituí en z=xy pero me quedó entonces una integral muy difícil que no sé resolver. ¿Es posible parametrizar de otra forma?
Agradecida
Solución
Hola Diana
Tu curva es la intersección del cilindro x2+y2=1 con la superfície z=xy (en esta pregunta te explican cómo es esa superfície).
Como la curva se crea cortando a z=xy con el cilindro, vista desde arriba se verá como una circunferencia. Eso quiere decir que los puntos (x,y,z) de la curva cumplen que x(t)=cost, y(t)=sint.
La coordenada z de los puntos de la curva la crea z=xy. Como ya tenemos a la x en función del parámetro t y también a la y en función del parámetro t, sólo falta sustituirlas en z=xy para tener también a la z en función del parámetro
z(t) = x(t) y(t) = cost sint
Así que una posible parametrización (no es la única) sería esta:
( cost, sint , cost sint )
Hay otra pregunta en saladeestudio.org muy parecida. Léela porque te ayudará: parametrización de curva.
Ciao !
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En este caso es fácil. Como el parámetro es un ángulo que gira desde el eje x hacia el eje y para estar en el punto (1,0,0) necesitas que el ángulo valga 0. Para estar en el punto (0,1,0) el ángulo debe ser π/2.
En general tienes que plantearte un sistema igualando el punto con la parametrización:
(1,0,0)=( cost, sint , cost sint ) para el punto inicial
(0,1,0)=( cost, sint , cost sint ) para el punto final
Faltaría resolverlos.
Ciao !
