RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

Estoy haciendo un trabajo de investigación y me gustaría saber el proceso que hay que seguir para obtener un paraboloide hiperbólico en su forma paramétrica. Muchas gracias.

queber Novato Enviada el 9 de junio de 2020 a Curvas y superfícies.
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1 Respuestas

Hola!

El paraboloide hiperbólico se puede parametrizar obteniendo primero la ecuación implícita, es decir, la relación entre las variables xyz y después introduciendo dos parámetros (ya que es una superficie bidimensional). Para obtener la ecuación implícita aplicamos la definición del paraboloide hiperbólico: se forma por una parábola que se desliza por otra parábola que pasa por el eje de simetría, transversal y con curvatura opuesta. Ponemos x  el eje en el que tenemos una de las parábolas e y el eje transversal en el que se forma la parábola de curvatura opuesta. La primera parábola es: z=(ax-b)2+c . Los parámetros a, b, c indican la anchura y la posición del vértice de la parábola. Ahora a esta parábola le sumamos el desplazamiento en el eje y a lo largo de otra parábola de curvatura negativa. Una parábola de curvatura negativa es z=-(a’y-b’)2+c’ , con el menos delante para que el factor y2 sea negativo. Por tanto, el hiperboloide será:

z=(ax-b)2-(a’y-b’)2+c

Las dos constantes c se pueden sumar en una sola para simplificar.  Como esta ecuación es de la forma «zeta igual a …» una manera de escribirla en paramétricas es simplemente poner que la variable x es igual a un parámetro y que la variable y es igual a otro:

RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

Alternativamente, se puede parametrizar de otra manera. Para evitar un engorro de parámetros es mejor partir del paraboloide más básico: z=x2-y2. Si rotamos los ejes, es decir, utilizamos coordenadas x’ e y’ giradas 45º respecto a las originales:

RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

En estas coordenadas:

RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

Es decir, que z=xy  es otra ecuación implícita del paraboloide, en este caso x e y no son las direcciones transversales a las parábolas, sino las diagonales. Con esta ecuación, una parametrización puede ser:

RE: ¿Cómo se parametriza un paraboloide hiperbólico?

Esta parametrización sería la del paraboloide más sencillo. Para adaptarse a la forma concreta del hiperboloide que tengas las variables x, e y podrían estar acompañadas por constantes multiplicativas, o desplazadas, es decir, como (x-a). Pero en esencia sería la misma parametrización, z=st.

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 15 de junio de 2020.
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