RE: Como solucionar el siguiente límite:

OleeeeeResuelta

Hola! Os traigo una duda sobre un ejercicio del limite de una sucesión:

lim (an^4+n^2-7)(1/3)-(bn^8+4n+5)(1/6)

cuando n tiende a infinto y para toda a,b>0 

He estado pensandolo, y tiende a infinito, pero no se como llegar a ello.

Pienso que una de las maneras de hacerlo es con la fórmula de las identidades:

(x+y)^n=(x-y)(xn-1 +...+yn-1 )

. Pero no encuentro la manera de solucionarlo.

 

Gracias

oriolrama Novato Enviada el 24 de octubre de 2018 a Sucesiones numéricas.
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1 Respuestas

Solución

¡Hola!

Este límite parece un poco complicado, porque normalmente hay raíces cuadradas y se quitan fácilmente multiplicando y dividiendo por el conjugado, pero aquí eso no funciona. Lo primero que podemos hacer es sacar factor común la n de grado máximo para ver qué pasa:

RE: Como solucionar el siguiente límite:

Si a cuadrado no es igual a b, vemos que no tenemos ningún problema porque es solo un número (positivo o negativo) por infinito, que no es ninguna indeterminación. El problema es cuando tenemos que a=sqrt(b). En este caso hay que intentar quitar las raíces para ver qué va pasando con los coeficientes. En general, para quitar raíces cúbicas podemos usar la siguiente expresión:

RE: Como solucionar el siguiente límite:

El problema es que luego queda una raíz cuadrada porque uno de los términos antes era una raíz sexta. Para quitar esta raíz cuadrada podemos multiplicar por el conjugado, como se hace normalmente. Lo único que hay que ir mirando son los términos de grado máximo, teniendo en cuenta que, por la elección de a y de b, se nos cancela un término. Te dejo aquí lo que me ha ido saliendo.

RE: Como solucionar el siguiente límite:

He utilizado el símbolo  de aproximado para simplificar las expresiones, porque al final, cuando tienes una fracción solo cuenta el término de grado máximo. Al final queda una potencia más alta en el denominador, con lo que el resultado da cero, que podría ser contraintuitivo, ya que el primer sumando parece siempre más grande que el segundo por tener potencias más altas. Por tanto, el resumen es:

  • si a es mayor que raíz de b, infinito
  • si a es menor que raíz de b, menos infinito
  • si a es igual que raíz de b, cero

Espero que se haya entendido! 🙂

Un saludo

Discípulo Respuesta escrita el 25 de octubre de 2018.

Muchas gracias! Más o menos sabia lo que tenia que hacer, pero pensaba que existía alguna manera para no tener que ir multiplicando todo el rato por los conjugados. Pero me ha servido! Muchas gracias!

oriolrama Novato el 25 de octubre de 2018.

Quizás haya una manera, quién sabe. Yo por si acaso multiplicaría hasta quitarme las raíces porque según cómo estén puestos los coeficientes hay veces que resulta que el efecto de ciertos términos en realidad se anula, así que a priori es difícil evaluar hacia dónde va a tender la cosa. Por ejemplo, en este límite, a ojo yo hubiera dicho que si a es igual a raíz de b  los términos de grado máximo se compensan y queda un término elevado a dos tercios menos un término elevado a un sexto, con lo que podría parecer que va a tender a infinito, pero al final resulta que va a cero.

rmgMath Discípulo el 29 de octubre de 2018.
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