RE: Demostrar que función de dos variables es de clase C infinito
Buenas tardes,
Me he encontrado con un problema sencillo, pero que no se como resolverlo, puesto que no había hecho ninguno parecido antes. Se trata de demostrar que la función f(x,y)=|x|y2 es de clase C∝ en el dominio R2\{(x,y)∈R2|x=0}
He probado de expresarla por partes y comprobar si es diferenciable fuera del eje y. Pero no se bien como tendría que proceder después. ¿Hallo la derivada direccional en función del vector de dirección hasta llegar a una derivada que trivilmente pueda asegurar que es de clase C infinito? Seguro que es un ejercicio sencillo pero no estoy seguro de cuando queda demostrado. ¿Cómo tendría que enfocar el ejercicio?
Muchas gracias
Solución
Hola
Una función es C∞ en un punto si sus derivadas parciales de cualquier orden en ese punto son continuas.
La función que propones f(x,y)=|x|y tiene un valor absoluto que puede provocar que las parciales no existan, pero eso, si ocurre, ocurriría en los puntos que anulan lo que está dentro del valor absoluto, es decir, en los puntos (x,y) con x=0. Pero precisamente esos puntos los han quitado porque dices que tienes que demostrar que es C∞ en R2\{(x,y)∈R2|x=0}.
Si nos olvidamos entonces de los puntos con x=0, en los demás podemos decir que
si x>0 ⇒ f(x,y)=|x|y=xy
si x<0 ⇒ f(x,y)=|x|y=-xy
Tanto en un caso como en otro estamos antes expresiones polinómicas que son C∞ (da igual las veces que derives un polinomio y respecto qué lo hagas, obtendrás siempre un polinomio y por lo tanto siempre una función continua).
Es decir, en la región R2\{(x,y)∈R2|x=0} la función f(x,y) tiene expresión o bien xy o bien -xy (polinomios en ambos casos) y por lo tanto f es C∞ en todos esos puntos.
Espero que se hay entendido.
Ciao !
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