Hola:

Estos ejercicios de campos conservativos en R³ se hacen de la siguiente manera: una condición suficiente y necesaria para que un campo vectorial en el espacio (que tenga derivadas parciales continuas, como es el caso aquí) sea conservativo es que el rotacional sea 0. Por tanto, para ver que es rotacional basta con calcular el rotacional y ver que se anula. Una vez que se sepa que es conservativo se puede hallar una función potencial igualando cada componente del gradiente del potencial a cada componente del campo y resolviendo.

Para la primera parte calculamos el rotacional:

Por tanto,

Esto prueba que el campo es conservativo. Para la función potencial buscamos una f que satisfaga que su gradiente es el campo dado:

Ahora se puede ir integrando cada igualdad. El truco está en lo siguiente: cuando calculamos una primitiva, o sea, una función que derivada dé la que tenemos, siempre hay que añadir una constante arbitraria, ya que las derivadas de las constantes son 0; en este caso, como tenemos derivadas parciales, hallamos «primitivas respecto a una variable», con lo que la constante que hay que añadir es en realidad una función de las otras variables. Esto es porque si calculamos la derivada parcial sobre dicha expresión, la parte que depende de las otras variables se anularía, con lo que sería como una constante en términos de esa variable. De la primera ecuación sacamos:

Ya tenemos todos los términos que dependen de x. Ahora falta usar las dos otras ecuaciones para saber qué función es g(y,z). Si sustituimos la expresión de f en la segunda ecuación podemos sacar g(y,z):

La expresión hasta ahora de f es:

Para eso sustituimos en la tercera expresión:

Ahora sí que hemos obtenido una C que ya es constante, no tiene más dependencia en otras variables. El potencial será entonces:

En cuanto al cálculo del rotacional, hemos visto que es 0. Por tanto, falta calcular solo la divergencia. Aplicamos la fórmula directamente:

Un saludo.