RE: Desarrollo en serie de potencias

Hola,

Tengo el siguiente ejercicio: desarrollar en serie de potencias estas funciones y analizar el radio de convergencia.

Desarrollo en serie de potencias

Para desarrollar en serie potencias he intentado utilizar la fórmula de Taylor, pero las derivadas salen monstruosas y llega un momento en que es inmanejable. ¿Hay alguna otra manera? Gracias!!

 

MarioF Novato Enviada el 21 de febrero de 2019 a Funciones 1 variable.
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1 Respuestas

Solución

Hola:

Los desarrollos en series de potencias se suelen hacer basándose en series que ya se conocen y haciendo cambios en las funciones que nos dan para poder aplicarlas ya que si no, como dices, es imposible hacer las derivadas. En este caso tienes que saber los siguientes desarrollos:

  • Desarrollo de log(1+x):

RE: Desarrollo en serie de potencias

Esta serie es muy muy común, y converge para puntos |x|<1. Para acordarte de cuándo converge la siguiente manera de verlo es úlil: el logaritmo tiende a menos infinito cuando su argumento es cero, es decir, cuando x=-1 en log(1+x). Como x=-1 no está en el domino porque es una asíntota, es imposible que la serie, que representa en cierta medida la función, converja en ese punto. En caso de emergencia puedes deducir esta serie, porque las derivadas son 1/(1+x), -1/(1+x)^2 etc., y evaluadas en x=0, queda un uno, con el signo alterno y con los coeficientes que van “bajando” de derivar.

  • Desarrollo de 1/(1-x): es la fórmula de la progresión geométrica. Sustituyendo x=-1 se puede obtener la fórmula de 1/(1+x). Es bueno usar como punto de apoyo 1/(1-x), porque es la serie que de manera natural representa la progresión geométrica, y sabemos que converge para -1<x<1.

RE: Desarrollo en serie de potencias

Teniendo en cuenta esto, para el primer apartado puedes utilizar las propiedades de los logaritmos para separar la función en dos y luego sustituir la expansión de cada uno de ellos sustituyendo la variable de la serie por x^2 y (-x)^2, respectivamente.

RE: Desarrollo en serie de potencias

Cuando tenemos una serie de potencias “desconocida”, tenemos que aplicar la fórmula del radio de convergencia y luego evaluar la serie en los extremos; pero en este caso, como proviene de la suma de dos desarrollos de logaritmos, y sabemos que su radio de convergencia es 1 y que no converge cuando x=+-1, vemos que esto se traduce en que nuestra serie no convergerá a no ser que x^2<1; es decir, el radio de convergencia también es 1 y para x^2=1, o sea x=+-1, no converge. Esto último, además de deducirlo de las propiedades de convergencia del desarrollo del logaritmo, también lo puedes ver sustituyendo x^2=1:

RE: Desarrollo en serie de potencias

Como la serie 1/n no converge, la serie que tenemos tampoco.

En cuanto al otro caso, hay que utilizar la suma de la serie geométrica y el producto de series. Primero reescribimos nuestra función y separamos en suma de fracciones irreducibles el denominador.

RE: Desarrollo en serie de potencias

Podemos desarrollar los sumandos que constituyen el denominador transformándolos para que tengan forma de suma de serie geométrica:

RE: Desarrollo en serie de potencias

Por tanto, el denominador será:

RE: Desarrollo en serie de potencias

Y el resultado final viene dado por la multiplicación de la serie del denominador por el numerador:

RE: Desarrollo en serie de potencias

Como la serie geométrica converge para valores entre -1 y 1 pero en nuestro caso los argumentos son x/2 y x/3, convergerán para -2<x<2 y -3<x<3, con lo que nuestro radio de convergencia vendrá dado por el más restrictivo: -2<x<2. En conclusión:

RE: Desarrollo en serie de potencias

 

¡Un saludo!

 

 

Discípulo Respuesta escrita el 28 de febrero de 2019.
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