RE: Ecuación de la circunferencia

Hola. ¿Me explicarían la resolución de este problema?

Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x-4y-1=0 en el punto (3,2).  Hallar su ecuación.

mrsaturn Novato Enviada el 10 de enero de 2018 a Ecuaciones.
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4 Respuestas

Solución

Vaya !  Yo te expliqué cómo se resuelven en general ese tipo de problemas para todo tipo de curvas. Claro que en tu ejercicio una de ellas es una recta y por lo tanto también se puede resolver por trigonometría o a partir de la recta perpendicular.

Te lo explico a partir de la recta perpendicular.

La circunferencia que buscamos tiene expresión (x-a)2+(y-b)2=25, así que sólo necesitamos encontrar su centro (la “a” y la “b”).

El punto (a,b) tiene que estar sobre la recta perpendicular a la del enunciado en el punto (3,2) y también debe estar a distancia 5 del punto (3,2). Fíjate en el dibujo:

RE: Ecuación de la circunferencia

La recta perpendicular a 3x-4y-1=0 en el punto (3,2) se puede hallar de varias formas. Por ejemplo sabiendo que nuestra recta pasa por (3,2) y tiene pendiente 3/4 podemos reescribirla así

y-2 = 3/4 (x-3)

y por lo tanto su recta perpendicular que también pasa por el (3,2) es

y-2 = -4/3 (x-3)

Pues bien, el punto (a,b) que buscamos está sobre ella y por lo tanto debe cumplir

b-2 = -4/3 (a-3)

Por otro lado, como sabemos que la circunferencia tiene radio 5, la distancia entre el punto (a,b) y el punto (3,2) debe ser 5 y por lo tanto

( (3-a)2+(2-b)21/2 = 5

que es lo mismo que

 (3-a)2+(2-b)2= 25

(llegas a la misma conclusión imponiendo que el punto (3,2) pertenezca a la circunferencia)

Ya tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas:

b-2 = -4/3 (a-3)

( (3-a)2+(2-b)21/2 = 5

Si lo resuelves te van a salir dos soluciones:

1ª solución: a=0 y b=6

2ª solución: a=6 y b=-2

¿Por qué salen dos? Porque hay dos circunferencias que cumplen las exigencias del enunciado. Fíjate en este otro dibujo

 

RE: Ecuación de la circunferencia

Espero que ahora sí !!!!

Chao



Esta respuesta resuelve la pregunta

¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 11 de enero de 2018.
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