RE: Ecuación de la circunferencia
Hola. ¿Me explicarían la resolución de este problema?
Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x-4y-1=0 en el punto (3,2). Hallar su ecuación.
Solución
Vaya ! Yo te expliqué cómo se resuelven en general ese tipo de problemas para todo tipo de curvas. Claro que en tu ejercicio una de ellas es una recta y por lo tanto también se puede resolver por trigonometría o a partir de la recta perpendicular.
Te lo explico a partir de la recta perpendicular.
La circunferencia que buscamos tiene expresión (x-a)2+(y-b)2=25, así que sólo necesitamos encontrar su centro (la «a» y la «b»).
El punto (a,b) tiene que estar sobre la recta perpendicular a la del enunciado en el punto (3,2) y también debe estar a distancia 5 del punto (3,2). Fíjate en el dibujo:
La recta perpendicular a 3x-4y-1=0 en el punto (3,2) se puede hallar de varias formas. Por ejemplo sabiendo que nuestra recta pasa por (3,2) y tiene pendiente 3/4 podemos reescribirla así
y-2 = 3/4 (x-3)
y por lo tanto su recta perpendicular que también pasa por el (3,2) es
y-2 = -4/3 (x-3)
Pues bien, el punto (a,b) que buscamos está sobre ella y por lo tanto debe cumplir
b-2 = -4/3 (a-3)
Por otro lado, como sabemos que la circunferencia tiene radio 5, la distancia entre el punto (a,b) y el punto (3,2) debe ser 5 y por lo tanto
( (3-a)2+(2-b)2) 1/2 = 5
que es lo mismo que
(3-a)2+(2-b)2= 25
(llegas a la misma conclusión imponiendo que el punto (3,2) pertenezca a la circunferencia)
Ya tenemos un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas:
b-2 = -4/3 (a-3)
( (3-a)2+(2-b)2) 1/2 = 5
Si lo resuelves te van a salir dos soluciones:
1ª solución: a=0 y b=6
2ª solución: a=6 y b=-2
¿Por qué salen dos? Porque hay dos circunferencias que cumplen las exigencias del enunciado. Fíjate en este otro dibujo
Espero que ahora sí !!!!
Chao
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