RE: Ecuación de la circunferencia

Hola. ¿Me explicarían la resolución de este problema?

Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x-4y-1=0 en el punto (3,2).  Hallar su ecuación.

mrsaturn Novato Enviada el 10 de enero de 2018 a Ecuaciones.
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4 Respuestas

Hola

Te explico cómo se enfocan en general este tipo de problemas de geometría.

Lo primero es tener claro qué estamos buscando. En este caso se trata de una circunferencia, cuya expresión general es

(x-a)2+(y-b)2=R2

donde R es el radio y (a,b) es el centro de la circunferencia.

El enunciado dice que es una circunferencia de radio 5, así que buscamos una circunferencia con expresión

(x-a)2+(y-b)2=25

lo que nos deja sólo dos variables (dos incógnitas), la “a” y la “b”.

Para determinarlas, seguro que en el enunciado encontrarás dos datos para poder construir un sistema 2×2 que las involucre.

En este problema nos dicen que la circunferencia debe ser tangente a una recta conocida en un punto conocido. Eso son dos condiciones porque obliga a la circunferencia a pasar por ese punto y además a tener una pendiente que coincida con la de la recta en ese punto. Dos condiciones, justo lo que necesitamos.

Si la circunferencia debe pasar por el punto (3,2) entonces debe cumplirse

(3-a)2+(2-b)2=25

lo que ya nos da una ecuación.

Y ahora sólo falta imponer que las pendientes de la recta y la circunferencia coincidan en el punto (3,2)

La recta tiene siempre la misma pendiente en cualquier punto (para eso es una recta).

Si reescribimos

3x-4y-1=0
y=3/4 x -1/4

vemos que tiene pendiente 3/4.

Ya sólo queda imponer que nuestra circunferencia tenga también pendiente 3/4 cuando x=3. Para eso calculamos la derivada de la circunferencia en un punto genérico. A partir de la ecuación

(x-a)2+(y-b)2=25

y cambiando y=y(x) para no cometer errores al derivar en implícita (error típico, olvidarse de aplicar regla de la cadena), derivamos a ambos lados de la ecuación respecto a “x”

(x-a)2+(y(x)-b)2=25

quedando

2 (x-a) +2 (y(x)-b)  y‘(x)=0

Ahora ya sólo falta sustituir el punto (3,2)

2(3-a)+2(y(3)-b)  y‘(3)=0

y como y(3)=2  (porque se trata del punto (x,y)=(3,2))  y sabemos que y'(3)=3/4

podemos crear la segunda ecuación así

2(3-a)+2(2-b) 3/4=0

Ya sólo falta resolver el sistema de ecuaciones

(3-a)2+(2-b)2=25
2(3-a)+2(2-b) 3/4=0

pero eso te lo dejo para tí !!!!

Cuando tengas “a” y “b” las sustituyes en (x-a)2+(y-b)2=25  y ya tienes tu circunferencia.

Espero que hayas entendido el razonamiento. Si algo no queda claro escribe un comentario en mi respuesta.

Chao !

Maestro Respuesta escrita el 10 de enero de 2018.
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