Hola

Vamos a ver cómo te lo explico rápido.

El problema que propones tiene infinitas soluciones ya que no especifican en qué punto tenemos que crear la recta perpendicular a 5x+8y=13.

Sea cual sea el punto que escojamos, la recta perpendicular resultante se cortará con la recta y=x en algún punto (Xo, Yo) (salvo que sean rectas paralelas) .  Porque ese punto misterioso (Xo, Yo) que tiene que estar en la recta perpendicular y también en la recta y=x sólo puede ser el punto de corte entre las dos rectas.

Más todavía, ese punto (Xo, Yo)  también podría ser un punto de la recta original 5x+8y=13. ¿Por qué no? Fíjate en el dibujo

De hecho si lo consideramos así, el punto (Xo, Yo) dejará de ser misterioso porque será el punto de corte de la recta original 5x+8y=13 con la recta y=x.  Si lo hallas sale el punto (1,1)

Ahora que ya sabemos cuál es el punto en el que tenemos que crear la recta perpendicular a 5x+8y=13 ya lo tenemos muy fácil.

La recta la podemos reescribir así

y= – 5/8 x +13/8

y por lo tanto su recta perpendicular tendrá expresión

y = 8/5 x + n

Para hallar la «n» le obligamos a pasar por el punto (1,1)

1 = 8/5  1 + n

n = 5/8

Así que una recta que cumple todas las exigencias del problema es

y = 8/5 x + 5/8

Ciao !