RE: Ecuaciones diferenciales

Un peso de 10 N alarga 20 cm un resorte de 60 cm. Si el peso se jala hacia abajo 8 cm más y se suelta,
determine el movimiento subsiguiente, despreciando la resistencia del aire. ¿Cuáles son la amplitud, la
frecuencia circular y el periodo del movimiento? Respuesta: u=8 cos 7t cm , 8 cm , 7 rad /s

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1 Respuestas

Solución

Hola!

La ecuación diferencial del movimiento armónico simple es mx»=-kx. Esta ecuación se puede reescribir como mx»+kx=0 y es una ecuación lineal de orden 2 con coeficientes constantes. El polinomio característico es 2+kx=0, que tiene las dos raíces imaginarias puras ±i√k/m. Por tanto, la solución general es:

x(t)=A cos((√k/m) t)+ B sin((√k/m)t)

Como el muelle se estira 0.2m con el peso de 10N, la constante k es k=10/0.2=50N/m. La masa será el peso entre la aceleración de la gravedad: m=10/9.8. Por tanto, √k/m=7. Para hallar las constantes B sustituimos la condición inicial. En t=0 el desplazamiento es 8, con lo que x(0)=A=8. Como soltamos la masa en ese momento, la velocidad en ese instante es 0, con lo que x'(0)=-A sin(7·0)+ B cos(7·0)=0, con lo que B=0. Por tanto, la ecuación de movimiento es x(t)=8·cos(7 t).

Como el coseno oscila entre -1 y 1, la elongación máxima —la amplitud— será 8. En cuanto al periodo, la función cos(x) tiene un periodo , de manera que como en nuestro caso tenemos cos(7 t) se repetirá cuando 7t=2π, así que el periodo es T=2π/7.

 

Un saludo.

 

Maestro Respuesta escrita el 15 de abril de 2020.
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