RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Un peso de 98 N estira un resorte 9.8 cm. El peso está conectado a un mecanismo amortiguador quetiene  una constante de amortiguamiento de 40 N s/m. Determine el movimiento subsiguiente si el peso se
suelta desde su posición de equilibrio con una velocidad de 8 cm/s en dirección hacia abajo. Respuesta:

u= (1/8√31)e-2tsin2√31 t

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Hola!

Como todos los problemas de oscilaciones forzadas, se trata de resolver la ecuación diferencial lineal de orden dos adecuada. Para plantearla primero tenemos que calcular las constantes: la constante del muelle, que se obtiene dividiendo la fuerza entre la elongación; y la masa de la partícula, que se calcula mediante el peso. La constante de amortiguamiento ya está en unidades del S.I., con lo que no hay que hacer nada:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Ahora hacemos el balance de fuerzas: la fuerza total es igual al rozamiento y la fuerza que ejerce el resorte, ambas opuestas al movimiento (signo -). Sustituyendo los valores obtenemos la ecuación:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Como es una ecuación diferencial lineal de orden dos homogénea se resuelve calculando las raíces del polinomio característico:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Como las raíces son complejas la solución es una combinación lineal de senos y cosenos en los que dentro aparece la parte imaginaria de la raíz, multiplicados por una exponencial de la parte real. Como es de orden dos tenemos dos constantes, una que multiplica a cada término y que hay que calcular mediante las condiciones iniciales.

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Sustituimos ahora la condición de la posición inicial:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Ahora sustituimos la condición inicial de la velocidad (la derivada x'(t)). El signo de la condición inicial lo podemos poner negativo o positivo dependiendo de cómo consideremos el eje. Si consideramos movimientos hacia abajo positivos, tenemos:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Por tanto, la solución final es:

RE: Ecuaciones diferenciales, constante de amortiguamiento

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 22 de abril de 2020.
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