RE: EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED: y^»+w^2 y=0 (con “w” constante). Es: y(x)=Asen(wx+φ).

  1. EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED:

(con “w” constante). Es: .

Determina una expresión:

  1. De A en términos de las constantes de Integración.
  2. De Φ en términos de las constantes de Integración.

muchas gracias

VALERIO Novato el 12 de noviembre de 2019.
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1 Respuestas

Solución

Hola:

No sabía qué entendías exactamente por constante de integración, así que pondré dos casos que me parece que pueden surgir. El primero es si tienes los valores iniciales de la función y de su derivada (al ser una ecuación de orden dos, necesitas dos condiciones iniciales para determinar las constantes). En este caso tendrías:

RE: EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED:  y^''+w^2 y=0 (con “w” constante). Es: y(x)=Asen(wx+φ).

Sustituyendo el cero obtendrías un sistema de ecuaciones que puedes resolver fácilmente sumando las ecuaciones al cuadrado (para quitarte senos y cosenos) y dividiéndolas (para quitarte la A):

RE: EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED:  y^''+w^2 y=0 (con “w” constante). Es: y(x)=Asen(wx+φ).

Por otra parte, puede ser que tengas la solución general de la ecuación escrita de la siguiente forma:

RE: EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED:  y^''+w^2 y=0 (con “w” constante). Es: y(x)=Asen(wx+φ).

Esta forma general sigue la pauta de que seno y coseno son dos ecuaciones linealmente independientes que forman una base del espacio de soluciones bidimensional de una ecuación lineal de orden dos. A partir de esta solución general se puede expresar de la forma que presenta el enunciado igualando las dos expresiones y desarrollando el seno de la suma con la fórmula correspondiente. Después, como seno y coseno son dos funciones independientes, todo lo que vaya con el seno (el que está aplicado a la variable x) tiene que ser igual a cada lado de la ecuación, e ídem para el coseno. Esto da un sistema de ecuaciones muy parecido al anterior que se resuelve con la misma técnica:

RE: EDO Lineal Homogénea con Coeficientes Constantes. La solución general de la siguiente ED:  y^''+w^2 y=0 (con “w” constante). Es: y(x)=Asen(wx+φ).

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 5 de noviembre de 2019.
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