RE: ¿El vector cero puede ser vector propio?

Hola

Estoy estudiando con un amigo y no nos ponemos de acuerdo en una cosa.

A mi me suena que en clase dijeron que el vector cero no podía ser vector propio.

Pero mi colega dice que el vector cero sí cumple la definición de vector propio porque su imagen es proporcional con él, ya que f(0) es siempre 0 si f es aplicación lineal.

Y no la verdad es que creo que tiene razón, así que hay algo que no cuadra.

A ver si alguien nos puede ayudar. ¡¡¡ Tenemos un examen la semana que viene !!!!

Gracias.

JosebaAzpilicueta Estudiante Enviada el 14 de diciembre de 2017 a Diagonalización.
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2 Respuestas

Hola Joseba.

El cero no puede ser vector propio porque si lo fuera lo sería para cualquier valor propio y eso es algo que no tiene sentido.

Se puede justificar de varias formas. Voy a utilizar la que me parece más sencilla.

Sí que parece que cumple la definición de vector propio

ν   es vector propio de  ƒ    ⇔       ƒ(ν) = λν

porque  ƒ(0) = 0  para cualquier aplicación lineal y por lo tanto

ƒ(0)= λ0=0

El tema es que eso será cierto ∀ λ . Y ahí es dónde fallan las cosas.  Dirías…  el cero es vector propio y su valor propio es…. ¡cualquiera!. No puede ser.

Sabéis que la  λ es el valor propio asociado a ese vector propio. Y que los valores propios son las raíces del polinomio característico. Ese polinomio tiene un grado “n”, que es finito, y por lo tanto no puede ser que tengas infinitas raíces. No pueden existir infinitos valores propios y a eso es a lo que llegamos si asumimos que el vector cero es un vector propio.

Te lo podría justificar de otras formas más rigurosas, pero supongo que con esto ya os quedaréis tranquilos.

Un saludo  y seguir estudiando !!!

Suerte para ese examen

 

 

Maestro Respuesta escrita el 16 de diciembre de 2017.
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