RE: Esperanza de una variable aleatoria

Dice el problema:

Sea X una variable aleatoria contínua tal que su función de densidad de probabilidad tiene un eje de simetría en la recta x=k. Si X tiene esperanza, ¿cuál sería su valor?.

Intuitivamente veo que tiene que ser k, pero no veo cómo demostrarlo.

¿Alguna idea?

Marco Estudiante Enviada el 10 de abril de 2018 a Variable aleatoria 1 var.
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1 Respuestas

Solución

Hola Marco. Me alegro de volver a verte por aquí.

El problema que propones es muy interesante.

Si la función de densidad es simétrica respecto a x=k entonces se cumple que

RE: Esperanza de una variable aleatoria

ya que

RE: Esperanza de una variable aleatoria

Eso nos da una pista sobre cómo resolver el problema:

RE: Esperanza de una variable aleatoria

Te explico que hago en cada paso:

(0) Es la definición de esperanza.

(1) Creo un cambio de variable

(2) Lo implemento en la integral

(3) Integral de la suma, suma de integrales

(4) En la primera integral saco la constante K fuera

La primera integral da 1. Es una propiedad básica de las funciones de densidad.

La segunda integral da 0 porque integramos en un recorrido de integración simétrico (de -infinito a +infinito) y la función que integramos es impar al ser producto de una impar y otra par.

Quizás lo más confuso es que fX(k+x) se par. Pero fíjate en esto

RE: Esperanza de una variable aleatoria

Así pues, el resultado de la integral acabando dando k.

Espero que se entienda.

Saludos



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Maestro Respuesta escrita el 11 de abril de 2018.

😲

Pues sí que era difícil. No se me hubiera ocurrido en la vida hacer un cambio de variable ni luego lo que razonas con la segunda integral.

Me has salvado.

Sólo una cosa. La integral de la función de densidad da 1, pero en tu resolución la tienes desplazada. ¿Sigue dando 1?

Marco Estudiante el 11 de abril de 2018.

Claro. El área que hay por debajo de una función no cambia por el hecho de desplazarla horizontalmente. Piensa además que integramos de -infinito a +infinito.

Lauel : ) Maestro el 11 de abril de 2018.

Cierto. Muchas gracias !!!! 😃

Marco Estudiante el 11 de abril de 2018.
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