RE: Funciones Lipschitz

Tengo una duda respecto a las funciones Lipschitz. En teoría una función es localmente Lipschitz si cada punto tiene un entorno tal que en todo x e y de ese entorno se cumple que |f(x)-f(y)|<L |x-y|, para una cierta constante L. Y la condición es global si esto se aplica para todos los puntos de un conjunto.

He visto que hay ejemplos de funciones que pueden ser localmente Lipschitz en todo punto pero no globalmente Liptschitz. ¿Esto no es una contradicción si en cada punto precisamente podemos encontrar la constante L? Gracias!!

Gauss93 Novato Enviada el 15 de enero de 2020 a Funciones 1 variable.
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1 Respuestas

¡Buenas!

Lo más importante aquí está en diferenciar muy bien entre poder tener una propiedad local en cualquier punto y tener la propiedad global. Cuando una propiedad se puede tener en todos los puntos pero no de manera global es porque la validez de la propiedad local depende de la cercanía al punto en cuestión. Vamos a verlo en el caso de las funciones Lipschitz.

Para empezar, vamos a considerar geométricamente el significado de la condición de Liptschitz. Si nos centramos en el punto x0 y llamamos y0 a la imagen de ese punto por la función f , los puntos cercanos x, y=f(x) satisfacen la condición de Liptschitz si:

RE: Funciones Lipschitz

Para entender qué región del plano es esta, consideramos la igualdad, que se cumple cuando:

RE: Funciones Lipschitz

Es decir, los puntos en los que se cumple la igualdad son los que pertenecen a rectas de pendiente L-L que pasan por el punto (x0,y0). La desigualdad se cumplirá en dos de las cuatro regiones delimitadas por estas rectas. Bajo esta perspectiva, un punto es localmente Liptschitz si existe un entorno a su alrededor tal que podemos encontrar un valor que delimita un espacio como el descrito anteriormente de manera que todos los puntos (x,f(x)) —es decir, la gráfica de la función— están en esta región. Por ejemplo, en x2 para un punto cualquiera se puede encontrar una L si se escoge un valor suficientemente alto. En el siguiente dibujo la región donde se cumple la desigualdad es la sombreada en verde. Si consideramos el intervalo marcado por los puntos A y B, vemos que en la gráfica de la derecha todos los puntos de la gráfica de la función están en la zona sombreada —se cumple la desigualdad— mientras que en la de la izquierda no.

RE: Funciones Lipschitz

Para esta función es intuitivo ver que esto se puede hacer en cualquier punto si se aumenta suficientemente la L. Sin embargo, para cualquier valor que fijemos de esta constante L, si «nos vamos suficientemente a la derecha» la función será tan inclinada que se saldrá de esta región:

RE: Funciones Lipschitz

En este caso tendríamos que reajustar la constante para que se cumpliera la condición de Liptschitz en el entorno del nuevo punto. Y esto lo podemos hacer, pero nuevamente tendríamos que se cumple a nivel local del nuevo punto. Si volviéramos a desplazarnos a la derecha, esta constante habría que ir modificándola e ir haciéndola arbitrariamente grande. Es por eso, precisamente, por lo que la condición global no se cumple, porque no hay ningún valor finito que cubra todos los puntos. Por el contrario, si tuvieras una función como la del siguiente ejemplo, podrías encontrar un valor de L que valiera tanto en un entorno local como en cualquier punto:

RE: Funciones Lipschitz

En este caso se puede hacer, existe la condición global, porque aunque nos alejemos y nos pongamos sobre otros puntos, como la función se va aplanando , la constante que teníamos antes seguirás sirviendo para estos puntos.

¡Espero que se entienda la idea!

Maestro Respuesta escrita el 31 de marzo de 2020.
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