RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Me ayudan con este ejercicio por favor?

Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla.

f(x,y) = x + (y– 5)ln x

Karen Novato Enviada el 13 de mayo de 2020 a Funciones n variables.
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1 Respuestas

Hola!

Para hallar los puntos de silla hay que seguir el siguiente método:

  1. Hallar los puntos críticos igualando el gradiente a cero.
  2. Analizar la matriz hessiana en cada punto crítico. Son puntos de silla aquellos en los que no es defnida positiva ni definida negativa.

Para el primer paso primero hay que calcular el gradiente:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Se iguala a cero y esto nos da un sistema de dos ecuaciones no lineales con dos incógnitas:

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La segunda ecuación nos da dos posibilidades:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Sustituyendo cada una de estas posibilidades en la otra ecuación hallamos las soluciones:

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Y esta:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Es decir, que los puntos críticos son los siguientes:

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Ahora hay que analizar la matriz hessiana en cada una de ellos. La matriz es:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Una manera de caracterizar que la matriz sea definida positiva, definida negativa o ninguna de las dos es mirar los valores propios. Como la matriz hessiana es simétrica, todos los valores propios son reales y siempre diagonaliza. Por tanto, si todos los valores propios son mayores que 0 en alguna base la matriz será una diagonal de números mayores o igual que cero, con lo que será definida positiva. Si todos los valores propios son negativos en una base será igual a una diagonal de números negativos, y por tanto definida negativa. Si hay valores propios positivos y negativos en una base la matriz será una diagonal con números positivos y negativos: los vectores propios de valor propio negativo corresponden a direcciones en los que la función decrece, mientras que los vectores propios de valor propio positivo corresponden a direcciones en las que la función crece; por tanto, será un punto de silla. Hay que calcular, por tanto, los valores propios de la hessiana.

En el punto A, sustituimos y obtenemos lo siguiente:

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Aquí ya vemos que los valores propios son positivos, por lo que la matriz es definida positiva y la función tiene un mínimo relativo.

En el punto B tenemos:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Calculamos los valores propios:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Como hay uno negativo y uno positivo, es un punto de silla. Por último analizamos el punto C:

RE: Hallar los extremos locales y los puntos donde la función tiene un punto silla

Esta matriz tiene el mismo polinomio característico que la anterior, por lo que los valores propios son los mismos que en B y, por tanto, el punto C también es un punto de silla.

Un saludo.

 

Maestro Respuesta escrita el 13 de mayo de 2020.

Gracias por la ayuda

Karen Novato el 13 de mayo de 2020.

🙂

rmgMath Maestro el 14 de mayo de 2020.
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