RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

Hola

Tengo otra duda sobre ecuaciones diferenciales.  Tengo que calcular el intervalo más amplio posible dado por el teorema de Picard en el que existe solución para el siguiente problema (apartado a):

Intervalo máximo por teorema de Picard

El teorema de Picard dice: si tenemos una ecuación diferencial con condición inicial x_0 en t_0 y la función que define nuestra ecuación diferencial dx/dt=f(t,x) es Lipschitz en el producto cartesiano del intervalo [t_0-a.t_0+a] y la bola de radio b, el intervalo de definición máximo de la solución con unicidad es: [t_0-alfa,t_0+alfa]. Aquí alfa es el mínimo entre ab/M (y M es el máximo de la función f en el conjunto en el cual es Lipschitz). Entiendo el teorema, lo que no entiendo es que en este caso en cualquier espacio cerrado que cojas la función será Lipschitz porque es diferenciable, así que no veo que haya a y b bien definidas para aplicarlo. Si se puede coger a arbitraria ¿implica eso que el intervalo máximo es todo R? O cómo habría que razonarlo?

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1 Respuestas

Solución

Hola:

Como la función es Lipschitz en todo compacto hay que ajustar los parámetros a y b para que el intervalo de definición sea lo máximo posible. Consideramos el conjunto D siguiente donde la función es Lipschitz:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

Parece que aumentando a todo lo que quieras se pudiera conseguir un intervalo infinito. Pero no es así, porque al tener ese mínimo entre a y b/M, cuando aumentas a demasiado puede que b/M sea más pequeño y que acabes disminuyendo. Por tanto, hay que hallar el máximo que alcanza el mínimo de a y M/b con respecto a los parámetros a y b. Está claro que M, el máximo de la función en el conjunto que estamos considerando es 1+a+e^b. Es decir, tenemos que hallar:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

Si fijamos un parámetro b, vemos que la a aumenta en función de a, lógicamente, mientras que la otra función, que es una hipérbola, disminuye. El mínimo será por tanto la función a, y la otra función después de que se crucen:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

El máximo de este mínimo es precisamente este punto de corte, que a su vez depende de b. Podemos hallarlo igualando las dos funciones:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

Nos quedaremos con la solución con el signo más, ya que la otra corresponde al cruce de la recta con la rama negativa de la hipérbola. Por tanto, nuestro problema se transforma en hallar el máximo de una función de b. Esta ecuación, que yo sepa, no tiene solución analítica, pero se puede hallar una aproximación en WolframAlpha por ejemplo, o con métodos numéricos:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

Por tanto, el intervalo máximo será de definición asegurado por el teorema de Picard será:

RE: Intervalo máximo por teorema de Picard

 

Ayudante Respuesta escrita el 22 de noviembre de 2018.

¡Muchas gracias! Era un poco más complicado de lo que pensaba…

Gauss93 Novato el 27 de noviembre de 2018.
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