RE: Intervalo máximo por teorema de Picard
Hola
Tengo otra duda sobre ecuaciones diferenciales. Tengo que calcular el intervalo más amplio posible dado por el teorema de Picard en el que existe solución para el siguiente problema (apartado a):
El teorema de Picard dice: si tenemos una ecuación diferencial con condición inicial x_0 en t_0 y la función que define nuestra ecuación diferencial dx/dt=f(t,x) es Lipschitz en el producto cartesiano del intervalo [t_0-a.t_0+a] y la bola de radio b, el intervalo de definición máximo de la solución con unicidad es: [t_0-alfa,t_0+alfa]. Aquí alfa es el mínimo entre a y b/M (y M es el máximo de la función f en el conjunto en el cual es Lipschitz). Entiendo el teorema, lo que no entiendo es que en este caso en cualquier espacio cerrado que cojas la función será Lipschitz porque es diferenciable, así que no veo que haya a y b bien definidas para aplicarlo. Si se puede coger a arbitraria ¿implica eso que el intervalo máximo es todo R? O cómo habría que razonarlo?
Solución
Hola:
Como la función es Lipschitz en todo compacto hay que ajustar los parámetros a y b para que el intervalo de definición sea lo máximo posible. Consideramos el conjunto D siguiente donde la función es Lipschitz:
Parece que aumentando a todo lo que quieras se pudiera conseguir un intervalo infinito. Pero no es así, porque al tener ese mínimo entre a y b/M, cuando aumentas a demasiado puede que b/M sea más pequeño y que acabes disminuyendo. Por tanto, hay que hallar el máximo que alcanza el mínimo de a y M/b con respecto a los parámetros a y b. Está claro que M, el máximo de la función en el conjunto que estamos considerando es 1+a+e^b. Es decir, tenemos que hallar:
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