¡Hola!

Como la función en el punto (0,0) tiene parciales continuas sabemos que es diferenciable. Por tanto, en este punto la diferencial es la aplicación lineal que aproxima la función a orden lineal. El plano tangente a la función es precisamente la aproximación lineal dada por la diferencial:

Para calcular la diferencial calculamos las derivadas parciales:

Por tanto, la diferencial en el punto (0,0) será:

El plano tangente es la aproximación lineal. Por tanto,

Para calcular una cota del error utilizamos la fórmula del error del desarrollo de Taylor en varias variables. Para poder aplicar esta fórmula comprobamos primero que la función es de clase C², es decir, que sus parciales de orden 2 existen y son continuas en todo el dominio R:

Ningún punto del rectángulo R puede causar problemas de continuidad en estas funciones, por lo que es C². La fórmula del error es:

Aquí D^α representa una derivada parcial de orden α. Como la aproximación lineal es hasta orden 1, el término del error depende de las derivadas segundas (un orden más de hasta donde hacemos el desarrollo). Según esta fórmula tenemos que encontrar primero el máximo en el rectángulo R de cada una de las parciales de orden 2 y, de entre todas, coger el máximo. Como no hay que encontrar la cota justa sino solo una cota, podemos utilizar las siguientes técnicas de acotación: el valor absoluto de la suma/resta es menor que la suma de valores absolutos. Además, si tenemos una fracción, siempre será menor que el valor que obtenemos si hacemos el numerador lo más alto posible y el denominador lo más bajo posible. Los numeradores son lo más alto posibles cuando x=y=0.2, mientras que los denominadores son lo más pequeños posibles cuando xy=-0.2². Usando esto:

La derivada respecto a y dos veces es justo igual:

La derivada cruzada:

Comparando las tres, tenemos que:

De manera que el error tiene la siguiente cota:

Un saludo.