RE: Multiplicadores de Lagrange

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.

Multiplicadores de Lagrange

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¡Hola!

Para utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange hay que buscar puntos en los que el gradiente de la función f  sea proporcional al gradiente de la función g(x,y,z)=9x2+36y2+4z2-36. Esta constante de proporcionalidad es, precisamente, el multiplicador de Lagrange λ. Además, hay que imponer que g(x,y,z)=0 para situarnos en la restricción dada.

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Los gradientes son:

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y

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Esto se traduce en el sistema de ecuaciones siguiente:

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Dividiendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos:

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Dividiendo las ecuaciones (1) y (3) tenemos:

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Esto nos permite reemplazar en la ecuación (4) y despejar x:

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Volviendo a las expresiones anteriores podemos despejar y z:

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Como todos los valores vienen acompañados de «más menos» delante, todas las combinaciones de más y menos son posibles soluciones. Esto da un total de 8 puntos en los que hay extremos relativos:

RE: Multiplicadores de Lagrange

En este caso, como ves, no hace falta hallar λ para conseguir despejar la posición de los puntos, con lo que ni siquiera es necesario calcularlo. Se podría obtener sustituyendo los valores de xy, z en cualquiera de las ecuaciones y despejando.

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 9 de abril de 2020.
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