RE: No saco este problema. A ver si me podéis ayudar.
Hola buenas.
Estoy practicando con un test y hay una pregunta que no la saco de ningún modo.
La copio aquí
Muchas gracias.
Sea {e1, e2,e3} la base canónica de R3 . Sigui T : R3 →R3 una aplicación lineal tal que su núcleo es el subespacio generado por los vectores (1,-1, 0) i (1, 0, 1). Entonces podemos asegurar que:
(a) T(e1) = T(e2) = T(e3).
(b) T(e1) = T(e2) = -T(e3).
(c) T(e1) = -T(e2) = T(e3).
(d) T(e1) = -T(e2) = -T(e3).
Solución
Hola
El truco es expresar a esos vectores del KerT en combinación lineal de los vectores de la canónica. Luego te aprovechas de que siendo vectores del KerT su imagen vale cero y puedes ir jugando para buscar esas relaciones.
Entendemos que e1 = (1,0,0) , e2=(0,1,0) , e3=(0,0,1), así que por ejemplo (1,-1,0) = e1 – e2.
Como dicen que (1,-1,0) es del KerT entonces su imagen vale cero y se cumple que
T(1,-1,0) = T( e1 – e2 ) = T(e1) – T(e2) = 0 de lo que se deduce que T(e1) = T(e2).
Puedes hacer lo mismo con el otro vector
T(1,0,1)=T(e1+e3)=T(e1)+T(e3)=0 por lo que T(e1)=-T(e3)
Así que con la tontería te acabo de resolver el problema. La respuesta correcta es la b): T(e1) = T(e2)=-T(e3)
Siempre que veas problemas de ese estilo, en los que te ofrecen vectores del núcleo de una aplicación lineal, tienes que aprovecharte de que su imagen vale cero para conseguir resolver el problema.
Chao !
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