RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Hola a todas, es muy conocido dentro de las matemáticas el problema de “la paradoja del cumpleaños”, se trata de la probabilidad que existe de que en un grupo de 23 personas haya al menos dos que cumplan años el mismo día. La resolución del ejercicio la comprendo sin problemas pero me estoy planteando cómo sería la  respuesta en el caso de que se pidiese: LA PROBABILIDAD DE QUE AL MENOS 3 PERSONAS (en lugar de 2) CUMPLIERAN AÑOS. Evidentemente ahora no se puede plantear el suceso complementario y el resultado restarlo a 1, así que yo en un principio planteaba que no queda otra que ir resolviendo y sumando  sucesivamente las probabilidades de que coincidan 3 personas, 4 personas y hasta las 23 personas en el mismo día. Pero claro, según mi solución cuando por  ejemplo  tres cumplen el mismo día y otros dos también, no se encuadra en ninguno de los casos. Y también hay casos que se encontrarían  repetidos. a ver si alguien me puede orientar. Un saludo a todos.
pichurrete Novato Enviada el 25 de marzo de 2019 a Probabilidad.
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2 Respuestas

Hola:

La manera que se me ha ocurrido es contemplar los sucesos «al menos n personas cumplen años el mismo día» como unión de sucesos. Por ejemplo, que al menos dos cumplan es la unión de que cumplan justo 2 el mismo día, justo 3, justo 4, etc. Como estos sucesos son disjuntos (no puede ser que coincidan exactamente 3 y al mismo tiempo exactamente 4), la probabilidad de su unión es la suma de sus probabilidades:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Se puede aplicar lo mismo al suceso «al menos tres personas cumplen años el mismo día», y así se relaciona con el anterior:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Por tanto tenemos que calcular la probabilidad de que justo dos personas cumplan años el mismo día. Primero suponemos que son los dos primeros los que coinciden. En este caso, la segunda persona no tiene más que una opción para «seleccionar cumpleaños», mientras que para el resto las posibilidades se van reduciendo:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Pero las posibles coincidencias que hay son iguales a las maneras de coger dos personas del grupo de n. Por ejemplo, pueden coincidir de la siguiente manera, entre otras:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Por tanto, para contar todas las posibilidades tenemos que multiplicar por el número de configuraciones para estas coincidencias, de manera que:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Por tanto, podemos restar esto a la fórmula de la probabilidad de que al menos dos personas cumplan años el mismo día y obtenemos el resultado:

RE: PARADOJA DEL CUMPLEAÑOS PARA 3 PERSONAS

Espero que más o menos se entienda. La verdad es que de la multiplicación por el número combinatorio no estoy totalmente convencido: mi intuición me dice que tiene que ser así, pero sé que a veces la primera intuición falla en este tipo de problemas. En todo caso, creo que el argumento general es correcto y espero que te sirva 🙂

Maestro Respuesta escrita el 28 de marzo de 2019.
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