RE: Polinomio de Taylor

Hola !!!

Me piden el polinomio de Taylor de la función 1/cos2x   en 0, de grado 4.

No creo que se tenga que calcular con la fórmula, derivando, pero no se me ocurre qué propiedad utilizar.

¿Alguna ayuda?

Saludos

olvidosilvia Estudiante Enviada el 8 de enero de 2018 a Taylor 1 variable.
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2 Respuestas

Buenas tardes,

para calcular el polinomio de Taylor de f(x)=1/cos2x sin calcular las derivadas se me ocurre que podrías obtener el polinomio por comparación con el polinomio de Taylor de la tangente.

En los libros de fórmulas aparecen los desarrollos de Taylor de funciones comunes. Allí puedes encontrar el de la tangente:

RE: Polinomio de Taylor

Dado que 1/cos2x es precisamente la derivada de la tangente, entonces la derivada n-ésima de la tangente será la derivada de un grado menor (n-1) de 1/cos2x. Por lo tanto, a partir de los términos del polinomio de Taylor de la tangente podrás ir hallando las derivadas de 1/cos2x en cero.

Por ejemplo, el coeficiente del término con x3 del polinomio de Taylor de tan(x) será la tercera derivada de la tangente en cero dividido por el factorial de tres. De esta igualdad encuentras el valor de la tercera derivada de tan(x) en cero, que sabes que coincidirá con el valor de la segunda derivada de 1/cos2x en cero.

Por un procedimiento análogo, analizando los términos del polinomio de Taylor de la tangente, irás obteniendo los valores de las derivadas de 1/cos2x, con los que después podrás construir el polinomio de Taylor.

Yo lo he hecho de este modo:

RE: Polinomio de Taylor

¡No significa que sea la única manera! 🙂 De hecho puedes calcular el polinomio directamente calculando las derivadas para comprovar que el resultado es el mismo.

P.D. En algunos libros muestran las series de Taylor sin operar los valores de las derivadas con los factoriales de los denominadores, por lo que en este caso todavía sería más simple, puesto que los valores de las derivadas de tan(x) en cero aparecerían de forma explícita.

Estudiante Respuesta escrita el 8 de enero de 2018.

Gracias Oscar !!!   Escojo la respuesta de Lauel como solución a mi pregunta porque la veo más sencilla, sin necesidad de utilizar derivadas ni presuponer que sabemos de memoria el Taylor de la tgx.

Gracias de todas formas por tu ayuda.

olvidosilvia Estudiante el 10 de enero de 2018.
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