Hola:

Este problema se puede formular mediante el sistema de ecuación de congruencias:

Por ejemplo, la primera ecuación se lee «x es igual a 1 módulo 4″, y significa que el resto de dividir x entre 4 es 1. Estas cuatro ecuaciones contienen exactamente la información del problema. Una vez formulada la ecuación hay que resolverla. Si no conoces un procedimiento te recomiendo que mires esta página: explica primero cómo se resuelve una ecuación con módulos y después cómo se extiende esto a un sistema.

Primero empezamos por la ecuación (4), la más sencilla, que nos dice que x es un múltiplo de 5. Ten en cuenta que siempre que se resuelven estas ecuaciones hay infinitas soluciones, ya que, en el caso de módulo 5, por ejemplo, sumar un múltiplo de 5 no afecta el resultado.

Si sustituimos este resultado en la ecuación (3) obtenemos lo siguiente:

Esto nos da una nueva ecuación que tenemos que resolver. Ahora en este paso hay que recordar la identidad de Bézout: si tenemos dos números que no tienen divisores comunes, a y b, por ejemplo, existen dos enteros k₁ y k₂ tales que k₁a+k₂b=1. En nuestra ecuación, 5 y 2 no tienen divisores comunes, o sea, m.c.d.(5,2)=1. Por tanto, podemos encontrar los dos enteros que satisfagan esta ecuación. En este caso se puede hacer «a ojo» ya que es muy fácil. De ahí podemos despejar:

Como la ecuación nos pregunta «qué número multiplicado por 5 da 1 módulo 2», tenemos, en vista de lo anterior, que el 1 cumple esa propiedad. Como siempre, tenemos que añadir múltiplos de dos para conseguir la solución general:

Cuidado porque estábamos hallando la k de la primera ecuación, no la x. Por tanto, volviendo a la expresión en x y sustituyendo el valor de k tenemos:

Esta expresión de x ya cumple las ecuaciones (3) y (4). Seguimos sustituyéndola en las otras para hallar qué valores de k₁ necesitamos. Cogemos la ecuación dos y restamos 5 a ambos lados: esto nos da una expresión en función de k₁:

O sea que ahora tenemos que resolver

Igual que antes, tenemos el 10 y el 3, que no tienen divisores comunes. Por tanto, buscamos los números que nos dan la identidad de Bézout, que vuelven a ser sencillos:

Pero como ahora no queremos que sea igual a 1 sino a 2, hacemos el truco de multiplicar todo por 2:

Por tanto,

Nuevamente tenemos que recopilar toda la información que tenemos sobre x:

Por último cogemos la primera ecuación y restamos 25 a cada lado para poder sustituir lo que tenemos:

Como 30 y 4 tienen el 2 como divisor común podemos dividir toda la ecuación, y nos queda:

Una solución, que se puede buscar a ojo, es 2, de manera que la solución general es:

Por tanto, volviendo a sustituir en la expresión de la x tenemos:

Como nos dan la restricción de que el valor tiene que ser mayor de 35 y menor que 100, el único valor que cumple esto es x=85.

¡Un saludo!