RE: Probabilidad media y varianza
a) Sea X una variable aleatoria con media μ y varianza σ 2 . Muestre que
E [ ( X − b )2 ], como una función de b, es minimizada cuando b = μ
b) Si C X( t ) = log M X ( t ) demuestre que
d/dt(C X ( t )T=0 μ) X y que d2 /dt2C X ( t )T=0 = σ 2 es decir que las primeras dos derivadas en T = 0 dan la media y la varianza de X
Solución
¡Buenas!
Estos ejercicios en los que hay que hacer derivadas de cosas que contienen integrales pueden ser complicados de justificar técnicamente, porque lo de «meter la derivada dentro de la integral» no se puede hacer siempre, hay condiciones complicadas. En mi resolución he considerado que se puede hacer, porque me parece que el aspecto central es otro.
- Para la parte a podemos hallar el extremo mediante el cálculo de la derivada. Si llamamos f(x) a la función densidad de probabilidad el valor esperado viene dado por
, con lo que los extremos relativos se encuentran de la siguiente manera:
Como es una función continua en b y estamos buscando el extremo en un intervalo abierto (todos los reales) el extremo tendrá que ser extremo relativo, por lo que tiene que ser este valor. Calculando la derivada segunda vemos que es un mínimo (hay que usar que la integral de la función densidad de probabilidad es 1):
- Para la siguiente parte derivamos las funciones CX teniendo en cuenta que son logaritmos:
Los valores que necesitamos son:
Sustituyendo obtenemos que la primera derivada es:
Y la segunda es:
Un saludo.
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