RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

Buenas tardes,

La duda surge en  este documento
https://web.archive.org/web/20180218203007/http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/sf/fourier.pdf
En la página 37, observación 3.9, indica que el teorema 3.8 (página 36) también es demostrable para funciones cuadrado integrables.

La consulta gira en torno a este teorema:

Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

donde f(x) es una función cuadrado integrable o continua a trozos y {SN(x)} es la sucesión de las sumas parciales tales que SN(x) con N tendiendo a infinito es la serie de Fourier de f(x). Luego, solamente para aclarar, la norma es definida bajo el producto interno canónico (reales) en el rango de 0 a 2L con 2L el periodo:

Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

Ahora bien, comprendo bien el por qué se da para funciones continuas a trozos; sin embargo, debido al fenómeno de Gibbs, para funciones cuadrado integrables con discontinuidades, no logro entender cómo es posible demostrar el teorema si no es posible obtener una aproximación exacta en el infinito.

Agradecería bastante una aclaración a dicha observación.

Kamuk Estudiante Enviada el 4 de enero de 2019 a Series de Fourier.
Crear comentario
1 Respuestas

Solución

Hola!

No puedo ayudarte con los detalles de la demostración porque estos temas son muy técnicos y no estoy muy puesto en el tema; pero creo que lo del fenómeno de Gibbs te está confundiendo. El hecho de que haya una diferencia no nula entre el máximo de cada elemento de una serie de funciones y la función a la que tiende no es incompatible con que converja puntualmente y en la norma L2. La clave está en que el intervalo en el que se produce esta diferencia cada vez es más pequeño, con lo que al final la diferencia entre las integrales acaba tendiendo a cero. Imagínate que tenemos una función continua, f(x)=0, y la aproximamos por la siguiente serie de funciones:

RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

Esta función es una especie de gaussiana con un pico, de altura raíz de n, que se desplaza hacia el cero pero que nunca está en el cero, y tiene las siguientes propiedades:

  • Tiende a la función 0 en todas partes, por lo que aproxima nuestra función 0 puntualmente:

RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

  • Hay un salto entre la función cero y ella cuya amplitud tiende a infinito (similar al fenómeno de Gibbs):

RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

  • Es convergente en la norma L2:

RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

RE: Problemas con demostración para funciones cuadrado integrables F(x): La norma de F(x)-Sn(x) tiende a cero para la suma parcial de Fourier Sn(x)

Este ejemplo permite ver bastante fácilmente que el hecho de que haya un salto entre una serie de funciones y su límite puntual, como en el caso del fenómeno de Gibbs, no influye necesariamente en la convergencia en norma L2. De hecho, en este caso el salto incluso tiende a infinito. La clave está en que siempre hay distancia entre las funciones, pero el intervalo en que sucede esta distancia es tan pequeño que el área de ese trocito tiende a cero.

 

Es decir, el fenómeno de Gibbs no es impedimento para la convergencia de la serie en la norma L2, porque de hecho si fuera así tampoco convergería para funciones a trozos, que es precisamente lo que está demostrado en el teorema 3.8. Imagino que la demostración de la observación 3.9 se hará de modo similar a la del teorema: aproximando las funciones L2 por funciones de algún espacio para el que se sepa que converge la serie de Fourier y acotando mediante la convergencia de la serie y mediante la precisión de la aproximación.

Discípulo Respuesta escrita el 8 de enero de 2019.

Listo! Me has dado la clave, prácticamente con esto me queda claro las dudas que me surgían respecto al tema. Muchas gracias!

Kamuk Estudiante el 8 de enero de 2019.
Crear comentario

Escribe tu respuesta

Al hacer click en "Responder" certificas que has leído y aceptas nuestra Política de privacidad y Términos de servicio.