RE: Proyección estereográfica

¿Cómo gráfico numero complejos en S2?

 

Proyección estereográfica

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Solución

Buenas!

La proyección estereográfica se construye trazando una recta desde el polo norte —el punto (0,0,1)— de la siguiente manera: la recta pasa por el polo norte, interseca en otro punto a la esfera e interseca al plano z=0, que en este caso se considera el plano complejo. Estos dos últimos puntos de intersección, el de la esfera y el del plano, son los que se corresponden mediante la proyección. La única excepción es cuando la recta se traza paralela al plano z=0. En este caso el único punto de intersección con la esfera es, precisamente, (0,0,1), y se considera que está relacionado con el punto infinito del plano.

Un esquema gráfico es el siguiente:

RE: Proyección estereográfica

Para hallar la correspondencia hay que seguir los pasos analíticamente. En primer lugar calculamos la recta que pasa por (0,0,1) y por un punto genérico del plano, (a,b). El vector director es:

RE: Proyección estereográfica

Y la recta en ecuación paramétrica será:

RE: Proyección estereográfica

El punto que corresponde en la esfera a dicho punto del plano, (a,b), es la intersección de la recta con la esfera. Esta intersección se produce cuando el módulo del punto es 1:

RE: Proyección estereográfica

El valor t=0 corresponde al punto (0,0,1). Por tanto, el segundo valor de t es el que nos interesa. Sustituyendo el parámetro en la ecuación de la recta hallamos el punto:

RE: Proyección estereográfica

En el caso de que estemos considerando números complejos, las coordenadas como puntos del plano corresponden a la parte real e imaginaria: z=(a,b)=a+bi. Además, la suma de los cuadrados de las componentes es el módulo al cuadrado.  Por tanto, podemos escribir la fórmula para el caso de números complejos:

RE: Proyección estereográfica

Ahora solo tienes que aplicar esta fórmula a cada caso. A modo de ejemplo, en el caso a) tienes z=1+i, con lo que Re(z)=1 e Im(z)=1. Por tanto, aplicando la fórmula, el punto correspondiente es:

Pe=(2/3,2/3,1/3)

El resto de puntos se hace de la misma manera, simplemente sustituyendo las partes real e imaginaria correspondientes.

 

Un saludo.

 

Maestro Respuesta escrita el 26 de mayo de 2020.
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