RE: Relación entre los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica y la serie de Fourier Compleja

Nos han explicado en clase que a partir de los coeficientes de la serie de Fourier trigonométrica (a0,ak,bk) se pueden deducir los coeficientes de la serie de Fourier compleja (cn) . Pero no acabo de entender las fórmulas. Hay una fórmula para hallar ck y otra para hallar c-k, pero no entiendo lo del -k.  ¿Qué significa -k? ¿Y qué hay que hacer luego con esos coeficientes para crear la serie de Fourier compleja? ¿Alguien me puede ayudar con esto?

Grazie mille

Marco Estudiante Enviada el 20 de noviembre de 2018 a Series de Fourier.
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1 Respuestas

Hola:

Podemos escribir la serie de Fourier de estas dos maneras:

RE: Relación entre los coeficientes de  la serie de Fourier trigonométrica y la serie de Fourier Compleja

Fíjate que en la fórmula trigonométrica la n varía de uno a infinito, mientras que en la fórmula exponencial va de menos infinito a infinito: el sumatorio en el que el exponente tiene un menos es realmente como si fuera un sumatorio con los valores negativos de n. Por eso los coeficientes de estos términos se denotan con un subíndice negativo. Se escribe así, separado, para facilitar los cálculos, ya que la expresión de los coeficientes en n y en -n es diferente.

La igualdad entre la serie de Fourier y la versión de exponencial se basa en la famosa fórmula de Euler, que relaciona la exponencial compleja con funciones trigonométricas.

RE: Relación entre los coeficientes de  la serie de Fourier trigonométrica y la serie de Fourier Compleja

Si sustituyes esta fórmula en la expresión de la serie exponencial obtienes:

RE: Relación entre los coeficientes de  la serie de Fourier trigonométrica y la serie de Fourier Compleja

Ahora sólo tienes que comparar término a término. El primero es claramente a0/2=c0. En cuanto al resto:

RE: Relación entre los coeficientes de  la serie de Fourier trigonométrica y la serie de Fourier Compleja

Con esto sacas los coeficientes de la serie de Fourier en función de los de la exponencial —igualdad de la izquierda—, y viceversa —igualdad de la derecha. Realmente solo tienes que conocer la fórmula de Euler y en un momento puedes deducir las transformaciones de una a otra formas.  Un último comentario: fíjate en que c_n y c_-n son números complejos conjugados, incluso aunque la fórmula trigonométrica tenga coeficientes reales. Por la expresión que da los coeficientes a y b a partir de las c ya se ve que a y b darán reales, con lo cual es coherente.

Discípulo Respuesta escrita el 11 de diciembre de 2018.
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