RE: Relación rectas tangentes y plano tangente

Nos han explicado que una superficie puede tener en un punto infinitas rectas tangentes, en cualquier dirección, pero a pesar de eso no tener plano tangente. ¿Cómo es eso posible? ¿No formarían todas las rectas un plano que sería el plano tangente?

 

olvidosilvia Estudiante Enviada el 12 de abril de 2018 a Curvas y superfícies.
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1 Respuestas

Solución

Hola Silvia

La relación entre las rectas tangentes y el plano tangente es la siguiente:

Si existe el plano tangente en un punto (porque la función es diferenciable en él) entonces también existen todas las rectas tangentes (todas las derivadas direccionales en el punto para toda dirección), y en ese caso, las rectas tangentes están contenidas en el plano tangente.

Lo contrario no tiene por qué ser cierto. Es decir, pueden existir todas las rectas tangentes en un punto y para toda dirección (existen todas las derivadas direccionales para toda dirección) pero no existir el plano tangente. Esto es así porque todas esas rectas tangentes no tienen por qué ser coplanarias, es decir, no tienen por qué formar un plano entre ellas.

Luego, puede ocurrir que existan todas las rectas tangentes (existen todas las derivadas direccionales) y que no exista plano tangente (que la función no sea diferenciable).

Si no te convence te busco una función a la que le pase eso.

Ciao !



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¿Te ha ayudado? Puedes agradecer el trabajo de


invitándole a algo ;-)


Maestro Respuesta escrita el 13 de abril de 2018.

Ostras. ¿En serio?

Te creo, pero no lo veo. No consigo imaginármelo.

olvidosilvia Estudiante el 15 de abril de 2018.

Esta función

RE: Relación rectas tangentes y plano tangente

no es diferenciable en (0,0) porque ni siquiera es contínua (el límite no existe: por la recta y=x da 0 y por la parábola y=x2 da 1/2). Si no es diferenciable en (0,0) no puede tener plano tangente en (0,0,f(0,0))=(0,0,0).

En cambio sí tiene derivadas direccionales para toda dirección (v1,v2). Si las calculas por definición en (0,0) sale: v12/v2 si v2≠0 y 0 si v2=0.

Por lo tanto existe la pendiente de la recta tangente para toda dirección, osea, existen todas las rectas tangentes a f en (0,0,f(0,0))=(0,0,0).

Matemáticamente no hay discusión posible.

Otra cosa es que cueste imaginárselo.

A ver si encuentro un programa que se capaz de sacar la gráfica de esa función. Si lo consigo te la adjunto.

Ciao !

Silan Dori Maestro el 15 de abril de 2018.

Mira Silvia, te grabé un vídeo:

https://youtu.be/w7FZZ6vwunM

 

Ciao

Silan Dori Maestro el 15 de abril de 2018.

Una crack. Eres una crack. Punto. 😃😃😃

olvidosilvia Estudiante el 15 de abril de 2018.
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