RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

Buenas, he hecho más ejercicios de este estilo y comienzo a entenderlos pero con números. Resulta que me encontré con este problema que no usa números y no sé qué hacer.

 

Sea A un conjunto y B un subconjunto de A. En P(A) (supongo que se refiere a las partes de A) se considera la relación definida así: X R B si y sólo si X intersección B es igual a Y intersección B. Estudiar si es de equivalencia y si lo es, hallar el conjunto cociente.

 

Pues tampoco consigo entender qué significa la Y, ¿no debería ser igual a la X para que eso se cumpla?

 

También agradecería una explicación del conjunto cociente ya que aún me cuesta comprender este concepto, y su diferencia con el conjunto de las partes. Muchas gracias.

lbm364dl Novato Enviada el 23 de septiembre de 2018 a Teoría de conjuntos.
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2 Respuestas

Solución

¡Hola! La relación de equivalencia es un concepto que se utiliza para simplificar la estructura de un conjunto en función de una característica. Por ejemplo, imagínate que tienes el siguiente conjunto:  

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

Podríamos definir la siguiente relación de equivalencia: dos elementos son equivalentes si tienen el mismo color. Esta relación de equivalencia nos da una nueva “definición de igualdad”. Es decir, si dos cosas tienen el mismo color, para nosotros son “iguales”. Esto hace que, en vez de tener seis elementos, tengamos tres. A este nuevo conjunto se le llama conjunto cociente. Bajo la lente de nuestra relación de equivalencia, el círculo y el triángulo son lo mismo, ambos son “el azul”. Hemos transformado, por tanto, nuestro conjunto original, en el conjunto de tres colores, que es un conjunto menos detallado. Otro ejemplo muy sencillo lo podríamos ver si tuviéramos un conjunto con grupos de elementos y definiéramos la relación de equivalencia que dice que dos conjuntos son iguales si tienen el mismo número de elementos. Tendríamos entonces que cuatro ranas, cuatro libros o cuatro mesas son “lo mismo”; todos serían el concepto “cuatro”. En tu ejemplo tenemos el siguiente caso:

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

  Dos conjuntos son “el mismo” si la parte que interseca a B es la misma. Para comprobar que es una relación de equivalencia hay que ver que cumple las propiedades: 1) Simétrica:

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

2) Reflexiva:

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

3) Transitiva

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

Con esta relación de equivalencia, la única parte que utilizamos para comparar conjuntos es la que está dentro de B. Es decir, de manera intuitiva, el conjunto cociente será igual a las partes de B. Recuerda que las partes de B es simplemente la colección de todos los posibles subconjuntos de B. Podemos verlo de una manera un poco más formal. Si cogemos un elemento arbitrario del conjunto cociente, vemos que podemos expresarlo como la clase de un subconjunto de B:

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

RE: Relaciones equivalentes y conjunto cociente

Por tanto, el conjunto de clases de equivalencias es igual al conjunto de subconjuntos de B:  A/~=P(B) ¡Un saludo!

Discípulo Respuesta escrita el 25 de septiembre de 2018.
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