RE: Series de Taylor

Determine la serie de Taylor alrededor del punto x 0 para  la siguientes funcion.
Determine también el radio de convergencia.

 

1/X+1,    X0=0

 

¿La serie de Taylor es la misma que la seria de Maclaurin?

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1 Respuestas

Hola:

La serie de Maclaurin es simplemente la serie de Taylor alrededor del punto x=0, con lo cual en este caso sí, es la misma. Para calcular esta serie hay dos maneras.

  1. La primera es de manera directa: calculando las derivadas evaluadas en 0 sustituyéndolas en la fórmula general. En este caso las derivadas se pueden calcular fácilmente. Las primeras derivadas evaluadas en el 0 son:

RE: Series de Taylor

Cada vez que se deriva «baja» una potencia del denominador, que incluye un signo menos, con lo que aparece otro factor numérico en el numerador y se alterna el signo menos. Esto hace que arriba vaya saliendo el factorial del orden de la derivada y el signo menos vaya alternándose. Al evaluar en 0, por tanto, queda la siguiente expresión:

RE: Series de Taylor

Por tanto, sustituyendo en la fórmula de la serie de Taylor:

RE: Series de Taylor

Para calcular el radio de convergencia se utiliza esta fórmula:

RE: Series de Taylor

Por tanto, el intervalo de convergencia será, como mínimo (-1,1). Ahora hay que comprobar los extremos, que siempre hay que evaluar por separado:

RE: Series de Taylor

RE: Series de Taylor

Esta última serie no converge porque la suma tiene los valores alternados 0, 1, 0, 1, 0, etc. Por tanto, el radio de convergencia es 1 y el intervalo de convergencia es abierto: (-1,1).

2. La segunda manera de hacerlo es a partir de la fórmula de la progresión geométrica. Cuando tenemos una progresión geométrica de radio r menor estrictamente que 1, la fórmula de la suma de todos sus términos es:

RE: Series de Taylor

Si leemos al revés la fórmula y sustituimos r por -r obtenemos una expresión para la función:

RE: Series de Taylor

Esto significa que la función 1/(1+x) se puede expresar de esa manera como suma infinita cuando |x|<1 . Como la serie de Taylor es la expresión de la serie como serie de potencias, si la función tiene esa expresión como serie de potencias dicha expresión debe ser igual a la serie de Taylor. En este caso ya sabemos de antemano que la serie converge solo cuando |x|<1con lo que tenemos el mismo intervalo de convergencia, (-1,1).

 

Un saludo.

Maestro Respuesta escrita el 4 de mayo de 2020.
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