RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Hola

¿Alguien me puede ayudar con la solución de este ejercicio? Sé que es parecido a las ecuaciones diferenciales lineales donde buscas una solución general y una particular, pero al ser un sistema no sé cómo plantearlo.

Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

¡Gracias!

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Solución

Hola:

Para resolver estos sistemas, como bien dices, hay que utilizar el procedimiento que se suele usar par las ecuaciones diferenciales lineales: primero se resuelve el sistema homogéneo, que tiene como solución una exponencial.  La solución general dependerá de unas constantes, como siempre, para ajustar las condiciones iniciales. Para conseguir la solución adaptada al término no homogéneo se hace lo que se llama variación de constantes: se considera que las constantes anteriores son funciones de t y se impone que la función sea solución del sistema total.

En el caso de tener dos dimensiones, x e y, el tratamiento es similar pero en forma matricial. Primero tenemos que escribir el sistema en forma matricial:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

El sistema homogéneo es el que resulta de quitar la última parte. La teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales nos dice que la solución es la matriz exponencial de A. Para calcular la exponencial tenemos que diagonalizar la matriz, ya que la exponencial de una matriz diagonal es la diagonal de las exponenciales de las entradas correspondientes y se cumple:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

En este caso los valores propios son:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Como son dos diferentes y es una matriz dos por dos, diagonalizará seguro (ya que la dimensión de cada espacio propio tiene que ser mínimo 1). Podemos encontrar los siguientes vectores propios:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Los vectores propios nos dan la matriz de cambio de base, que además resulta ser su propia inversa, de manera que tenemos:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Ahora podemos calcular la matriz exponencial fácilmente:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Operando y añadiendo las constantes obtenemos la solución general. Como cada una de las columnas de la matriz exponencial corresponde a una solución y la solución general es la suma de las soluciones independientes multiplicadas por constantes, ponemos poner las constantes en un vector columna (multiplicar por un vector columna es hacer combinaciones lineales de las columnas):

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Ahora aplicamos variación de constantes. Es decir, cambiamos las constantes por funciones del tiempo y sustituimos en la ecuación original.

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Imponiendo que sea solución obtenemos otra ecuación diferencial para las “constantes”:

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

Por tanto, la solución del sistema no homogéneo es:

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o escrito en forma de expresión para y

RE: Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales

El segundo apartado se haría igual, te lo dejo a ti para ver si te sale (y porque es un poco largo, jeje). Como hay muchos cálculos con matrices te recomiendo esta página https://matrixcalc.org/es

Un saludo y suerte

Discípulo Respuesta escrita el 20 de noviembre de 2018.

Muchas gracias!!! Intentaré hacer el siguiente por mi cuenta, y si no me sale ya lo volveré a preguntar…

Gauss93 Novato el 21 de noviembre de 2018.
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