Hola:

El tema del valor propio uno simplemente está relacionado con el hecho de que si una matriz tiene valor propio uno significa que hay algún vector (o mejor dicho un subespacio vectorial) que deja fijo. Para la primera parte la observación clave es que cuando tenemos dos soluciones su resta es solución de la ecuación homogénea. Las soluciones de la ecuación homogénea son una combinación lineal de las columnas de la matriz fundamental, es decir, la matriz fundamental multiplicada por un vector de constantes; mientras que las soluciones de la ecuación no homogénea son iguales pero con el «vector de constantes» dependiente de t (se calcula mediante el método de variación de constantes). Es decir, si tenemos dos soluciones:

La resta de estas funciones satisface la ecuación homogénea:

Por tanto, como todas las soluciones de la ecuación homogénea son combinaciones lineales de las columnas de la matriz fundamental, tiene que haber necesariamente un vector constante tal que:

Esta es la clave: mientras que en las soluciones por separado el vector de constantes depende del tiempo, en el caso de la diferencia este vector es constante. Como las dos soluciones son periódicas, la resta en el instante 0 es igual a la resta en el instante T. Así:

Esto significa precisamente que D es un vector de valor propio 1 de Phi(t), cosa que contradice la hipótesis. Por tanto, no puede haber más de una solución periódica. Respecto a la segunda parte, es fácil demostrar que y(t) es solución:

Y en teoría para aplicar el apartado anterior habría que demostrar que hay al menos una solución periódica y, asumiendo que la matriz fundamental no tiene valor propio uno podríamos deducir que es única; sin embargo, no sé cómo se puede demostrar que hay al menos una solución periódica o si es posible utilizando la y(t) 🙁 ¡Un saludo!