Hola

Las transformadas de las funciones f(t)=1 y g(t)=u(t) dan lo mismo porque ambas funciones son iguales para t>0, ambas valen 1, y como bien sabes la definición de transformada de Laplace integra a la variable «t» desde 0 hasta +∞. Dicho de otra forma. La definición de Transformada de Laplace «se pasa por el forro» los valores que toma la función en las «t» negativas, no los tiene en cuenta.

Saludos