RE: Transformada de Laplace

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Solución

Hola:

Para resolver este tipo de problemas hay que hacer la transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación, despejarla y después antitransformar.

Si tomamos transformadas a ambos lados:

RE: Transformada de Laplace

Por linealidad se pueden separar los factores. Las transformadas de las derivadas de y se desarrollan usando la propiedad de derivación y sustituyendo los valores iniciales, mientras que la del lado derecho se hace usando el teorema de traslación y la transformada del seno:

RE: Transformada de Laplace

Sustituyendo esto podemos despejar la transformada de y(x):

RE: Transformada de Laplace

Para calcular la antitransformada utilizamos la técnica de descomposición en fracciones simples. Como los dos polinomios del denominador son irreducibles de grado 2, la descomposición tendrá la siguiente forma:

RE: Transformada de Laplace

Igualando numeradores obtenemos la expresión que determina los coeficientes A, B, C y D:

RE: Transformada de Laplace

Igualando los coeficientes de cada potencia de s obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

RE: Transformada de Laplace

La solución de este sistema es:

RE: Transformada de Laplace

Sustituyendo estos valores obtenemos la descomposición en fracciones parciales:

RE: Transformada de Laplace

Por tanto, la solución es la antitransformada:

RE: Transformada de Laplace

La primera de estas antitransformadas se calcula simplemente usando el teorema de translación y la transformada del seno:

RE: Transformada de Laplace

La segunda se calcula de la misma manera, con la diferencia de que hay que completar cuadrados en el denominador antes:

RE: Transformada de Laplace

Por tanto, la solución final es:

RE: Transformada de Laplace

Un saludo!

 

 

Maestro Respuesta escrita el 18 de mayo de 2020.
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