RE: y y” + (y’)^2 = 0

Hola

Esa EDO no es lineal. ¿Cómo se resuelve?

Saludos

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1 Respuestas

Solución

Hola

Tienes que hacer un cambio de variable y’ = p(y).

Es decir, pasarás de tener una ecuación diferencial de la función y(x) a tener una ecuación diferencial con la función p(y). Sí, la variable que antes era dependiente se convierte en la nueva variable independiente.

Cuidado ahora al aplicar el cambio de variable porque tendrás que cambiar las derivadas antiguas que eran respecto a “x” por nuevas derivadas respecto a “y”. Eso te obligará a aplicar regla de la cadena. Si lo haces, el orden de la ecuación se reducirá en 1, pasarás de tener una EDO de orden 2 a tener una EDO de orden 1 que seguro que podrás resolver. Luego deshaces el cambio de variable (eso te obligará a resolver una EDO de variables separables) y ¡voilá! Lo tendrás.

Es un problema un poco largo. Hacía tiempo que no veía una EDO de esas. Cuando se las explicaba a mis alumnos las catalogaba como aquellas en las que “no aparece explícitamente la variable independiente”.  A esas EDOs se les puede reducir el orden en 1 aplicando el cambio de variable que te he propuesto.

Inténtalo y si no te sale me pones un comentario en esta respuesta.

Saludos



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Maestro Respuesta escrita el 16 de enero de 2018.

Ups. No lo pillo. Sí lo del cambio de variable, algo así recuerdo de clase, pero no entiendo cómo aplicarlo, lo de la regla de la cadena no lo pillo. ¿Me lo puedes explicar?

lucho Estudiante el 17 de enero de 2018.

En tu ecuación original tienes como variable dependiente la “y” y como independiente la “x”. Por eso en esa ecuación pueden aparecer “y”, “x” y derivadas de “y” respecto a “x”.

En la nueva ecuación la variable dependiente va a ser la “p” y la independiente la “y”. Así que en la nueva ecuación deberán aparecer únicamente “p”, “y” y derivadas de “p” respecto a “y”.

Así que ahora tenemos que pensar qué hacemos con las “y”, “x”, y las derivadas de “y” respecto a “x” de la ecuación original para dejarlas en función de “p”, “y” y derivadas de “p” respecto a “y”.

La “x” no aparece explícitamente en la ecuación, así que no hay que hacer nada con ella.

La “y” la dejamos tranquilas, porque va a hacer de nueva variable independiente. No la cambiamos.

La y’ la vamos a cambiar por p(y). He ahí nuestro cambio de variable.

Falta decidir qué hacemos con la y”. Aquí suele estar el lío. Recuerda que esa derivada es una derivada dos veces respecto a “x” y nosotros la tenemos que convertir en algo que sólo tenga “p”, “y” y derivadas de “p” respecto a “y”.

Lo podemos conseguir así

RE: y  y'' + (y')^2 = 0

Como ves para poder derivar a p(y) respecto a “x” he aplicado regla de la cadena. Ése es el paso que más problemas suele dar.  Se trata de interpretar que p(y) es realmente una p(y(x)) y aplicar regla de la cadena al entender que se trata de una composición de funciones.

Si ahora sustituyes en la ecuación original te queda

RE: y  y'' + (y')^2 = 0

que es una EDO de variables separables. La resuelves, deshaces el cambio de variable y listo.

Saludos

 

Lauel : ) Maestro el 17 de enero de 2018.

Muchas gracias Lauel !!!

lucho Estudiante el 18 de enero de 2018.
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