Combinatoria

En palabras muy simples, la combinatoria es una parte de las matemáticas que consiste en contar posibilidades. La dificultad de la combinatoria no reside en la complejidad de las fórmulas matemáticas; suele ser más conceptual y los puntos clave son los siguientes:

  • Entender las diferentes modalidades de combinaciones: se cogen todos los elementos o no, con importancia del ordeno no, con elementos repetidos o no; y entender cómo se deducen las fórmulas para cada caso. Los argumentos que se usan en la deducción de las fórmulas nos revelan cómo hay que pensar para enfocar un problema de combinatoria.
  • Ser capaz de transformar un enunciado o una situación en un problema de combinatoria: esto es especialmente complicado en casos en los que hay que darse cuenta de que resolver un cierto problema es equivalente a resolver otro problema de combinatoria.

Hemos encontrado en la web una serie de materiales que sirven para trabajar estos dos puntos: para la primera parte, una serie de vídeos que presentan de manera muy clara los diferentes conceptos básicos de combinatoria. Para la segunda, cuatro vídeos con ejercicios resueltos que también puedes encontrar de forma escrita para practicar antes. Si ya conoces los conceptos de combinatoria puedes pasar directamente a la resolución de ejercicios.

Teoría

El primer vídeo presenta el concepto de permutación sin repetición: se cogen todos los elementos, importa el orden y no hay elementos repetidos. Lo importante de este vídeo es entender por qué se utiliza el factorial.

https://youtu.be/MUu6lZPaBNA

El siguiente concepto es el de permutación con repetición: se cogen todos los elementos, sí importa el orden y hay elementos repetidos. Lo más complicado de esta parte es entender a qué tipo de situaciones se corresponde esta fórmula. Fíjate en que “con repetición” significa que hay varios elementos que son idénticos e indistinguibles.

https://youtu.be/Db7tn9hmM64

El siguiente vídeo habla de variaciones sin repetición: la diferencia frente a los casos anteriores es que no se cogen todos los elementos. Lo más importante es entender el uso de ese “factorial cortado” (minuto 2:50), cómo se pone entérminos de otros factoriales y cómo expresarlo en términos de división de factoriales, ya que esto te ayudará a entender mejor las combinaciones.

https://youtu.be/xIyFanSCwmE

El siguiente tema es el de variaciones con repetición: es un caso en el que se pueden coger tantos elementos de cada tipo como queramos. El vídeo explica un ejemplo con una quiniela que es muy práctico para recordar a qué tipo de situaciones se adecúa esta fórmula.

https://youtu.be/OdnI3Ochnsw

Por último, viene el bloque de combinaciones: no se cogen todos los elementos, no importa el orden y no hay repetición. Las combinaciones son muy importantes porque además dan lugar aun concepto matemático nuevo, el de números combinatorios. Si has entendido bien la fórmula de las variaciones sin repetición, verás muy natural la deducción de la fórmula de un número combinatorio.

https://youtu.be/qZQGmq5Q-202

Problemas

Los dos primeros vídeos son aplicación directa de las diferentes fórmulas. Te vendrán bien para saber identificar a qué casos se puede aplicar cada una.

https://youtu.be/MFNqpnXngP8

https://youtu.be/u8vBSN2ImW8

Losvídeos siguientes contienen problemas más complicados en los que hay que utilizar y combinar las fórmulas de recuento para adecuarse a cada situación.

https://youtu.be/uP_krThZk9I

https://youtu.be/L8zm6OSaTEU

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