EDO lineales de orden n

En estas ecuaciones aparecen derivadas de la variable dependiente hasta orden n con coeficientes que pueden ser, como siempre, variables o constantes. Cuando tienen coeficientes constantes se pueden resolver directamente utilizando técnicas específicas sean homogéneas o no. Las que hay que conocer son: resolución de la ecuación homogénea mediante el cálculo del polinomio característico asociado y resolución de la ecuación no homogénea mediante el método de variación de parámetros. También puede ser útil el método de la transformada de Laplace.

1. Ecuación homogénea

El primer paso es aprender a resolver la ecuación homogénea mediante el polinomio característico. En la siguiente página de Sangakoo puedes encontrar una explicación muy útil:

EDO lineales de orden n I

También encontrarás una descripción del mismo método en la página 6 de este documento:

EDO lineales orden n II

Una vez entendido el procedimiento hay que conocer un poco mejor los detalles prácticos. Como muchas veces que trabajamos con raíces de polinomios, hay dos cosas a las que hay que prestar atención: si las raíces son reales o complejas y si aparecen con multiplicidad mayor que uno (repetidas) o no. Cada una de estas cuatro posibilidades da lugar a un comportamiento distinto de las soluciones, pero verás que es muy fácil ver un patrón: las raíces reales se asocian con exponenciales reales, las raíces complejas con senos y cosenos, y la multiplicidad se asocia con multiplicar por la variable independiente (t) la solución. Te dejamos aquí una serie de vídeos de Matefacil con ejemplos resueltos organizados según la multiplicidad y la forma de las raíces.

 Raíces reales

Raíces reales simples I
Raíces reales simples II
Raíces reales simples III
Raíces reales simples IV
Raíces reales simples V
Raíces reales simples VI

Raíces reales repetidas

Raíces reales repetidas I
Raíces reales repetidas II

Raíces complejas

Raíces complejas simples I
Raíces complejas simples II
Raíces complejas simples III
Raíces complejas simples IV
Raíces complejas simples V
Raíces complejas simples VI

Raíces complejas repetidas

Raíces complejas repetidas

2. Ecuaciones no homogéneas

Una vez tengas muy controlado el tema de las ecuaciones homogéneas hay que aprender a calcular la solución de un sistema no homogéneo: esto se hace encontrando la solución del sistema homogéneo y sumándole una solución particular. Para encontrar la solución particular se utiliza un método que consiste en ver qué tipos de funciones aparecen en el término de la no homogeneidad y añadir una función genérica del mismo tipo en la que aparecen varios parámetros.

Como introducción a este método, que se denomina método de los coeficientes indeterminados, te recomendamos echar un vistazo al siguiente documento de la UAM, que contiene muchos ejercicios resueltos:

Ejemplos resueltos coeficientes indeterminados

Después de entender por dónde van los tiros puedes ver el siguiente vídeo de Matefacil, que explica con detalle los casos más comunes de no homogeneidades y que tipo de soluciones particulares se suelen proponer. Eso sí, te recomendamos que lo veas después de haber hecho varios ejemplos concretos, ya que si no te puede resultar complicado.

Método de los coeficientes indeterminados

3. Transformada de Laplace

Un método muy flexible para resolver ecuaciones de orden superior es el de la transformada de Laplace: permite resolver ecuaciones homogéneas, no homogéneas con coeficientes constantes o, en algunos casos, coeficientes variables. Te dejamos aquí algunos ejemplos:

Caso homogéneo

Caso homogéneo I
Caso homogéneo II

Caso no homogéneo

Caso no homogéneo I
Caso no homogéneo II
Caso no homogéneo III

Coeficientes variables

Coeficientes variables I
Coeficientes variables II
Coeficientes variables III
Coeficientes variables IV

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