Integrales racionales

Integrales racionales

Las integrales racionales son las integrales de una fracción de polinomios. Para resolverlas hay que saber hacer dos cosas: la primera, tener muy claro cómo se divide polinomios y cómo se descompone una fracción polinómica en las llamadas fracciones parciales o fracciones simples; la segunda, saber integrar los diferentes tipos de fracciones parciales o simples.
Para la primera parte hemos encontrado dos documentos que presentan de manera clara este contenido. Es importante entender la clasificación de los casos y tener clara la descomposición de polinomios con coeficientes reales:

http://ehernandez.mat.utfsm.cl/MAT021/pdfs/FraccionesParciales.pdf

Para tener otro punto de vista sobre el mismo contenido también puedes mirar el siguiente documento:

https://www.uv.mx/personal/aherrera/files/2014/08/51a.-FRACCIONES-PARCIALES.pdf

En la misma línea hemos encontrado una herramienta online que permite calcular descomposición en fracciones parciales y muestra el resultado paso a paso:

https://es.symbolab.com/solver/pre-calculus-partial-fractions-calculator

Una vez que tengas claro cómo se descompone en factores simples tendrás que saber integrar cada una de las fracciones simples que has obtenido. Esto implica saber integrar, básicamente, fracciones en las que en el denominador tienes polinomios lineales o cuadráticos elevados a alguna potencia y en el numerador, constantes o polinomios lineales.
El caso más sencillo que se produce cuando trabajamos con fracciones simples es el de integrales de tipo logaritmo:

https://youtu.be/YU7_exRjYAg

El siguiente caso es el de polinomios lineales o cuadráticos elevados a una potencia negativa distinta de -1 (en cuyo caso tendríamos una de tipo logaritmo). Si el polinomio del denominador es lineal el procedimiento es sencillo:

https://youtu.be/cezj8G3_SVo

Cuando el polinomio del denominador no es lineal, necesitamos que su derivada esté en el numerador

https://youtu.be/Rw8ney9uvxk

Estas se dan cuando en el denominador hay un polinomio cuadrático y en el numerador hay una constante; es decir, en el numerador no está “la derivada de lo de abajo”. Este caso se llama integral de tipo arcotangente. Se resuelven haciendo los cambios oportunos –sumando y restando lo mismo, dividiendo arriba y abajo por lo mismo y cosas por el estilo- hasta que tiene la forma de la integral de una arcotangente. El caso más simple que te ayudará a entender el procedimiento es el de un denominador en el que el término de grado uno no está. Aquí tienes un par de ejemplos:

https://www.youtube.com/watch?v=JtqFxvy8lf4
https://youtu.be/1s6ZAtsK6xg

Vamos ahora con el caso más complicado en el que el polinomio del denominador tiene término de grado uno:

https://www.youtube.com/watch?v=jegbGFu8fCI
https://youtu.be/JlzWax4liTc

Puede que te estés preguntando cómo va eso de completar cuadrados. Es una operación que aparece a menudo y que conceptualmente es una tontería: sumar y restar lo mismo varias veces para poder expresar algo como el cuadrado de otra cosa. Como es una operación importante para las integrales de tipo arcotangente te dejamos aquí una explicación exhaustiva:

https://lasmatematicas.eu/docs/matematicas2bach/unidades/completando_cuadrados_esquema_racionales.pdf

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