Integrales trigonométricas

Integrales racionales con funciones trigonométricas

Las funciones racionales trigonométricas se integran utilizando cambios de variables. La técnica básica es utilizar un cambio universal, llamado sustitución de Weierstrass, que permite reducir todas las integrales de este tipo a integrales racionales. No obstante, cuando la función tiene ciertas simetrías se pueden utilizar otros cambios para facilitar la tarea. Lo bueno de este tipo de integrales es que basta con conocer el cambio de variable para asegurarse que se pueden resolver. Eso sí, los cambios son un poco farragosos y viene bien entender bien cómo se deduce. Hemos encontrado una explicación sintética y con ejemplos muy completos de estos cambios:

http://danipartal.net/pdf/2bachTema5Teoria04.pdf

En las páginas 3, 4 y 5 puedes encontrar los cambios de variable que se utilizan en situaciones concretas. Te recomendamos que estudies con más detalle el llamado “cambio universal”, explicado en la página 7. Fíjate que el cambio se realiza sustituyendo la variable por la tangente de t medios. Esto no permite sustituir directamente las funciones trigonométricas usuales: seno, coseno, tangente. Por tanto, hay que desarrollar la expresión hasta tener una fórmula explícita en t para el seno y el coseno. También hay que encontrar una fórmula para el diferencial de x. Esta es la forma práctica en la que llevaremos a cabo el cambio en una integral. Para tener otro punto de vista sobre el mismo concepto, puedes mirar este vídeo, en el que se explica el cambio universal y nuevamente cómo se deducen las expresiones para el seno y el coseno:

https://youtu.be/qlT16sgcs74

Este mismo canal tiene una explicación del cambio que se utiliza cuando la función es par en seno y coseno:

https://youtu.be/PEhgn3DwS54

En el siguiente vídeo puedes ver un ejemplo sencillo de esta “sustitución universal” en el que solo aparece un coseno. Fíjate que los cambios que se usan en la práctica son las fórmulas naranjas que aparecen en la parte superior derecha de la pantalla, no la definición original de la tangente de t medios.

https://youtu.be/r-64B11GZj0

Aquí puedes ver un ejemplo del mismo cambio aplicado a una función con un seno:

https://youtu.be/1MIKS85qGDg

Otro ejemplo más utilizando seno y coseno:

https://youtu.be/Hfm1q9q-t98

Otro ejemplo con la secante:

https://youtu.be/nk0UwvbffdQ

Ejemplos con la segunda sustitución universal:

https://youtu.be/tCVAo1Ds6GE
https://youtu.be/tEk7zDxe5ng
https://youtu.be/dliqspyC_JI

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