Sistemas de EDO lineales: caso homogéneo

1. Coeficientes constantes: exponencial de matrices


Teoría

Si resuelves una ecuación diferencial lineal homogénea con coeficientes constantes —una expresión del tipo y'(t)=C y(t)— por separación de variables, verás que la solución es una exponencial: y(t)=K exp(Ct). Análogamente, existe una fórmula para la matriz fundamental de un sistema lineal homogéneo con coeficientes constantes: la exponencial de matrices. Echa un vistazo a la primera parte (hasta la proposción 9.3) del siguiente documento:

Sistemas EDO lineales coeficientes constantes

La cuestión de cómo se calcula la exponencial de matrices no es sencilla. Te recomendamos que primero te familiarices con ejemplos sencillos.

Sistemas EDO lineales homogéneos

Una técnica general para el cálculo de la exponencial es el uso de la forma canónica de Jordan. Si no recuerdas o no sabes qué es, puedes consultar recursos en esta página. Dada una matriz en forma de Jordan, su exponencial se construye a partir de la exponencial de cada bloque. Ten en cuenta que puede haber bloques reales y bloques que provienen de valores propios complejos. Cada uno tiene una forma característica de exponencial. La siguiente pregunta de Sala de Estudio trata esto con mucho detalle:

Cálculo de exponencial de matrices

Te recomendamos la sección Sistemas lineales homogéneos a coeficientes constantes del siguiente documento de la UPC. Es un poco técnica y puede costar de entender, pero en la página 9 encontrarás una proposición donde aparece una fórmula general de la exponencial de matrices para un bloque de Jordan general (la entenderás mucho mejor si antes miras con detalle el enlace anterior). Después proporciona varios ejemplos:

Sistemas EDO lineales

Te dejamos otro ejemplo con más cálculos de exponenciales:

Exponencial de matrices


Ejercicios

En el capítulo 3 de este documento hay muchos ejercicios resueltos. Específicamente relacionados con sistemas homogéneos y forma de Jordan te recomendamos el 2, el 3 y el 9 (apartados a y b).

Colección de problemas

Aquí también tienes otros ejercicios resueltos:

Ejercicios sistemas EDO homogéneos coeficientes constantes

2. Coeficientes variables

En caso de que te estés preguntando qué pasa cuando los coeficientes no son constantes (es decir, son funciones de la variable dependiente), la respuestas es que no hay una fórmula general análoga a la exponencial de matrices. No obstante, si el sistema cumple cierta propiedad, se puede usar una versión extendida de la fórmula de la exponencial. Puedes encontrar esta explicación como parte del ejercicio 3 del capítulo 3 del siguiente documento de la UGR:

Colección de problemas

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