Sistemas de EDO lineales: caso no homogéneo

En esta página te proponemos una serie de recursos para resolver sistemas de EDO lineales no homogéneos con diversos métodos. Dos de ellos —variación de constantes y coeficientes indeterminados— parten de la solución del sistema homogéneo. El otro —transformada de Laplace— no requiere calcular la solución del sistema homogéneo.

1. Partiendo del sistema homogéneo


Variación de constantes

Uno de los métodos más conocidos para la resolución de sistemas no homogéneos de ecuaciones diferenciales es el de variación de constantes. Este caso es el mismo que se aplica a ecuaciones diferenciales lineales de orden uno (revisa el apartado 8.4 de este documento). Un requisito fundamental es resolver el sistema homogéneo asociado (puedes consultar recursos en esta página de sala de estudio). Puedes ver una explicación del método aquí:

Variación de constantes

Para interiorizar esta técnica remitimos a esta lista de ejercicios. En el capítulo 3, los ejercicios 1 y 9 muestran el método aplicado directamente. El ejercicio 5 también te puede venir bien, aunque es un poco más teórico.

Ejercicios resueltos EDO

Tienes más ejemplos resueltos en los siguientes enlaces:

Pregunta resuelta sistema de EDO lienal no homogéneo

Ten en cuenta que el método de variación de constantes también se puede aplicar a ecuaciones lineales de orden superior. Puedes ver recursos de este concepto en esta página.


Coeficientes indeterminados

El método de coeficientes indeterminados es más usual para resolver ecuaciones lineales de orden superior, aunque también se puede aplicar a sistemas de ecuaciones diferenciales. Puedes ver una explicación en la página 10 del siguiente documento:

Coeficientes indeterminados I

También puedes ver una explicación en este vídeo de Matefacil:

Coeficientes indeterminados II

2. Transformada de Laplace

El método de la transformada de Laplace resuelve directamente un sistema de ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas a coeficientes constantes. A diferencia de los métodos anteriores, este método también sirve para resolver sistemas de orden mayor que uno.

Hemos encontrado los siguientes documentos de la UAM, que te pueden resultar útiles. El primero explica el método y hace hincapié en el cálculo de las transformadas inversas.

Método de la transformada de Laplace

El segundo incluye muchos ejemplos de aplicaciones y problemas propuestos con solución. También te dejamos más páginas con ejemplos en los siguientes enlaces de Fernando Revilla y Matefacil:

Ejemplos resueltos I
Ejemplos resueltos II
Ejemplo resuelto III

Por último, te dejamos más ejemplos resueltos de preguntas en Sala de Estudio:

Pregunta 1
Pregunta 2
Pregunta 3
Pregunta 4

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