Sistemas EDO lineales: matriz fundamental

1. Conceptos generales

Hay muchos calificativos que suelen acompañar a la expresión sistema de EDO lineal. La mayoría van en pares: homogéneo vs. no homogéneo, coeficientes constantes vs. coeficientes variables, sistema de ecuaciones vs. ecuación, orden 1 vs. orden superior, lineal vs. no lineal. La siguiente serie de vídeos te aclarará el significado de estos conceptos y te centrará en los objetos que tratamos en este apartado: sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos.

Orden de un sistema de EDO
Conceptos de linealidad y homogeneidad
Forma matricial de un sistema de EDO

Una técnica habitual en EDO de orden superior es reducir el orden añadiendo ecuaciones al sistema. El siguiente vídeo muestra cómo funciona este procedimiento:

Reducción del orden de un sistema

Te recomendamos también los apartados 8.2 y 8.3 del siguiente documento

Sistemas de EDO lineales

2. Matriz fundamental y Wronksiano

Las soluciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales homogéneos tienen una estructura particular de espacio vectorial. Por este motivo, para un sistema de n ecuaciones, basta con encontrar n ecuaciones linealmente independientes para, mediante combinaciones lineales, obtenerlas todas. Estas soluciones se suelen expresar como columnas de una matriz que cumple una serie de propiedades. Te recomendamos de nuevo el documento anterior. En este caso el apartado 8.4 presenta la matriz fundamental:

Sistemas de EDO

Para practicar un poco hemos encontrado algunos ejercicios en esta colección de problemas resueltos. Te recomendamos echar un vistazo a los ejercicios 5, 6, 7 y 8 del capítulo 2:

Ejercicios EDO

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