Teorema de Cauchy-Peano

El primer resultado en que podemos pensar es asegurar que exista una solución, sin entrar en si es única o no. El teorema fundamental que trata este asunto es el denominado teorema de Cauchy-Peano. Sus hipótesis son poco restrictivas, con lo que se aplica a la mayoría de casos (salvo los “rebuscados”).  El siguiente recurso contiene una sección bastante completa sobre teoremas de existencia y unicidad:

Cauchy-Peano

El teorema de Cauchy-Peano es el teorema 6 de este documento.
En resumen, este teorema nos asegura que si en un intervalo la función que define la EDO es continua y acotada tendremos al menos una solución en todo el intervalo. No nos dice nada sobre si será única o no: esto implica que puede ser única o puede no serlo.

Si te aventuras a leer el lema 8, el lema de prolongación, puede que te estés preguntando cuál es la diferencia o qué aporta. Fíjate en que el teorema de Cauchy-Peano asegura que al menos una solución existe en todo el intervalo, aunque pueden existir otras; de estas otras no indica dónde están definidas. El lema de prolongación nos dice que estas otras soluciones también estarán definidas en todo el intervalo.

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