Teorema de Picard-Lindelöf

La idea general de los teoremas de existencia y unicidad que te tiene que quedar muy clara es: si a la condición de continuidad le añadimos la condición de Liptschitz en la variable dependiente obtenemos  unicidad de soluciones. Diferentes variaciones en dónde y cómo se aplica la condición de Lipschitz dan lugar a las diversas versiones del teorema.

1. Funciones Lipschitz

Lo primero es, lógicamente, saber qué es una función Lipschitz. Para eso te proponemos dos recursos. El primero son unas notas de clase sobre funciones Lipschitz. Fíjate en la diferencia entre globalmente Lipschitz y localmente Lipschitz, ya que es muy relevante para los teoremas de existencia y unicidad. En concreto, intenta entender bien el último párrafo de la primera página, ya que esta idea de que la constante “explota” es lo que diferencia una función Lipschitz localmente en cada punto con una función Lipschitz globalmente. Por último presta también especial atención a la última definición: función Lipschitz respecto a un grupo de variables. Esta definición también es muy importante ya que una EDO está definida, en general, por una función que depende del tiempo y de una variable n-dimensional: la posición. La condición de Lipschitz sólo es relevante en la dependencia espacial de la función.

Funciones Liptschitz

Para practicar estos conceptos te recomendamos los ejercicios 12 y 13 del capítulo 7 de la siguiente lista de ejercicios resueltos:

Colección de problemas

2. Teorema de Picard-Lindelöf

Vamos ahora con los teoremas de existencia y unicidad en sí. Antes de entrar en las sutilezas de las diferencias entre los distintos enunciados intenta entender el teorema básico, el llamado teorema de Picard-Lindelöf. Es el teorema 2 del documento:

Picard-Lindelöf

Fíjate en que la condición de Lipschitziana añadida a la continuidad es lo que nos da unicidad.

Este teorema nos da unicidad de soluciones en todo un intervalo de tiempos ([a,b]) donde la función es Lipschitz. Para entender las otras “versiones” del teorema de Picard-Lindelöf fíjate bien en las hipótesis del teorema dos: para cualquier tiempo en [a,b], la función es globalmente Lipschitz en la variable x. Globalmente Lipschitz, no localmente Lipschitz en cada punto. Recuerda que esto implica que la constante de Lipschitz tiene que mantenerse acotada en todo R^n (que es un conjunto infinito).

3. Teorema de Picard-Lindelöf en un conjunto acotado

Mira ahora el teorema 5. ¿Cuál es la diferencia en las hipótesis respecto al teorema 2? La condición de Lipschitz es global pero confinada a un conjunto acotado, el llamado Q. Es global porque la L vale para todo elemento en Q; pero es global respecto al conjunto Q. Como estas hipótesis son más fáciles de satisfacer que las del teorema 2, el resultado es más débil: se puede asegurar la existencia de solución en un intervalo de tiempo que puede ser más pequeño del intervalo de tiempos donde la función es Lipschitz. Si quieres ver un ejemplo concreto puedes mirar este ejercicio de Saladeestudio donde se discuten detalladamente estas cotas.

Intervalo máximo por teorema de Picard

4. Teorema de Picard-Lindelöf, versión global

Hasta ahora todos los resultados nos dan soluciones únicas en un intervalo alrededor del t_0 para el que nos dan la condición inicial. El último resultado que te proponemos estudiar es el que se denomina Teorema de Picard-Lindelöf: versión global, en los mismos apuntes de antes. Nuevamente, fíjate en las hipótesis. En este caso se pide que la función sea Lipschitz localmente para todo punto del conjunto de definición. Recuerda que Lipschitz localmente en cada punto no es equivalente a Lipschitz globalmente (el ejemplo típico es la función x^2): la constante L puede ser finita para cada punto pero tender a infinito a medida que te vas moviendo por el conjunto. Si lo piensas, este teorema no aporta mucho nuevo porque dadas estas hipótesis en cada punto puedes construir una Q y estás justamente en el caso del teorema 5, con lo que tienes existencia local alrededor de ese punto. Si unes todas estas soluciones obtienes lo que denominan solución maximal.

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