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  • Hola Brenda.

    Para resolver estas integrales, nos apoyaremos primero en algunas identidades trigonométricas comunes:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Cabe destacar que, la mayoría de veces, pueden existir distintos métodos para poder resolver una integral, así que lo que te daré son algunas pistas útiles que reducirán los problemas en integrales sencillas y conocidas.

    Integral #1: En este caso, se puede utilizar la identidad (1), lo cual dejará la integral en una separable:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Integral #2: Si utilizas la identidad (2), y luego realizas una sustitución, sale fácilmente:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Integral #3: En esta, se puede utilizar integración por partes dos veces.
    Primera vez:  Tomamos u=sin2(x), tal que du=2sin(x)cos(x)dx, y dv=sin(x)dx tal que v=-cos(x)

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Segunda vez (la integral de la derecha): Tomamos u=cos2(x) y dv=sin(x)dx.

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas


    Tal que:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Te dejo que hagas la sustitución y termines de resolver. No te olvides del +C, aquí lo he despreciado.

    Nada más para aclararte, en las respuestas que contienen funciones trigonométricas encontrarás muchas respuestas diferentes; sin embargo, son equivalentes, debido a que de una manera u otra se pueden convertir por identidades trigonométricas de una a otra. La respuesta varía según el método que utilices; además, si quieres una respuesta en específico, puedes o utilizar otra estrategia o transformar con identidades la respuesta que ya tienes.

    Integral #4: Esta a simple vista parece intimidar; sin embargo, es más sencilla que la anterior a mi parecer. Basta aplicar (3), integración por partes y sustitución donde corresponda:

    Por partes: Podes utilizar u=sec2(2x) y dv=sec2(2x)dx. Derivas e integras, para obtener finalmente:

    v=(1/2) tan(2x)
    du=4tan(2x)sec2(2x)dx

    Aplicamos y:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Ahora, la integral de la derecha no hace falta resolverla por partes, solamente basta aplicar (3) nuevamente:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Por lo tanto, solamente basta sustituir y despejar, hasta llegar a:

    RE: Ayuda con estos ejercicios de integrales definidas

    Aquí, ya es trivial la respuesta (cuando dividas “C” por tres, simplemente podes reescribir “C” en lugar de “C/3”, o bien otra constante “A” si se te confunde; esto es posible ya que son constantes cuyo valor es arbitrario). Terminamos!

    Si necesitas saber de dónde salen las identidades trigonométricas a partir de otras más sencillas, o no entiendes algo, me avisas y edito la respuesta o te ayudo. Estas mismas integrales se pueden resolver por otra propiedad llamada “reducción de integrales”, por si alguna vez te lo topas, sin embargo tiene un fundamento un poco más complejo que integrales por partes.

    Espero que haya sido de ayuda!
    Saludos.

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  • Hola Nacho!

    He entendido de la pregunta, que quieres graficar “funciones continuas a trozos” y valores puntuales, espero haberlo entendido correctamente. Existen dos formas que he encontrado al leer la documentación del graficador. La primera es utilizando curvas paramétricas, y utilizando x=s.

    La segunda forma es la que más recomiendo por su sencillez. Según la documentación, si “a” es una constante, las expresiones:

    • x==a (X es igual a “a”)
    • x < a
    • x > a

    Devuelven “1” o “0” si cumplen o no (al igual que MatLab). Por lo tanto puedes utilizar una suma:

    Función
    f(x) =  (2x-1)*(x>2) + (x-1)*(x<2)

    Las desventajas que he notado de este método es; primero, que dibujará una línea vertical en el salto de la función (que a veces no es deseado, pero es de hecho válido), y segundo, es el “step” que el fooplot utiliza (esto es cada cuánto cambio en “x” tomará un valor de la función para graficar, por lo tanto la resolución) por lo cual dicha línea vertical se verá un poco diagonal. Si no quieres que esto suceda, es mucho mejor optar por la opción de parametrizar.

    En el caso de valores puntuales (como límites en estos casos), es más fácil agregar un punto.

    Primer método

    RE: gratificador fooplot

    Segundo método

    RE: gratificador fooplot

    Espero que te haya servido, cualquier aclaración, puedes comentar y yo con gusto edito la respuesta.
    Saludos!

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  • Estudiante Enviada el 23 de enero de 2019 a Funciones 1 variable.

    Hola Amine!

    En este caso, cuando “restamos”  un conjunto de otro, obtenemos la diferencia entre ellos. Esto es por ejemplo:

    A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
    B = {1,2}
    Tal que A-B = A\B = {3,4,5,6}

    Por lo tanto, si queremos el conjunto de los números reales excepto el -1 y el 1, la forma sería R-{-1, 1} y “x” pertenecería entonces a dicho conjunto:

    x∈R-{-1, 1}

    El error está en que has escrito x∉R-{-1, 1}, lo cual significa algo parecido a “x no es real a excepción del -1 y el +1”, lo cual es lo opuesto. Ahora bien, cuando nos referimos al dominio de la función “f” hablamos específicamente del conjunto, por lo que usualmente se expresa con las siguientes notaciones:

    Dom= D= R-{-1, 1}

    Y:

    x∈Domf

    Espero que te haya servido!
    Saludos

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  • Hola! Básicamente, una forma de hacerla es desarrollarla utilizando las siguientes proposiciones (identidades y límites trigonométricos comúnes):

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    Intenta primero desarrollarla utilizando las primeras dos identidades de arriba (sale muy fácil), a la siguiente expresión:

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    Ahora, debido a que el límite de productos se puede descomponer como el producto de límites, entonces vemos: si x tiende a cero, entonces sin(x)/x tiende a uno y lo podemos “cancelar”. Luego, el cos(x) en el denominador realmente no está causando problemas ya que cos(0)=1, por lo cual lo cancelamos. Queda al final:

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    En ese caso, lo que se hizo fue realizar una pequeña multiplicación por “uno” (16x^2 / 16x^2), para aprovechar el límite trigonométrico de arriba. Ahora bien, desarrollando un poco, descomponiendo un poco y separando el producto en un producto de límites, se obtiene:

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    Si u=4x, entonces:

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    Donde finalmente:

    RE: Solucionar el siguiente limite SIN usar Hopital

    Y listo! Espero que te haya ayudado de algo. Me he de imaginar que existen muchos otros métodos, pero este fue el que encontré de forma más rápida.

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  • Estudiante Enviada el 12 de enero de 2019 a Sucesiones numéricas.

    Hola fernandooros!

    Dada igualdad es un resultado o fórmula la sumatoria que te están dando. Más explícitamente, se le llama serie geométrica cuando tiende a infinito. La progresión geométrica tratada es la sumatoria de la forma:

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    Es demostrable en el infinito (n tendiendo a infinito) que esta serie converge si el valor absoluto de r es menor a uno: |r| < 1.
    La demostración del por qué es equivalente a dicha expresión la dejo al final de la respuesta. Ahora bien, en el caso de la pregunta.

    Tenemos que a=1 y r=1/6, y además:

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    De donde sale le equivalencia:

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    Demostración

    Tomemos

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    la cual corresponde a la progresión geométrica (note que en la sumatoria, la potencia es k-1)

    Si multiplicamos esta sumatoria por “r”, obtenemos:

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    Si restamos ambas sumatorias:

    RE: No entiendo un paso de una resolución

    donde concluye la demostración.

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  • Estudiante Enviada el 11 de enero de 2019 a ? (sin clasificar).

    Buenas Joseknfs!

    Es correcto, al tener la misma unidad tanto en el numerador como denominador, abusando un poco del sistema se puede decir que “se cancelan”. De una forma un poco más formal, podemos demostrar lo anterior utilizando los factores de conversión, y ver que estos de hecho se cancelan al obtener la inversa de uno multiplicado por el otro:

    RE: Pregunta de Fracciones

    Ahora, una forma más intuitiva es verla como un porcentaje o realmente como una proporción, que es lo que una fracción representa en estos casos.  Lo que puede cambiar en este caso, al mantener la misma magnitud tanto en denominador como numerador, es la cantidad, lo cual es irrelevante en la división pero importante si se tratan de forma individual.

    Por ejemplo, “10 gramos de azúcar por 100 gramos de harina” es lo mismo que decir “10 onzas de azúcar por 100 onzas de harina”, pero es lógico ver que “10 gramos de azúcar” no son “10 onzas de azúcar”. Creo que lo anterior es un poco trivial.

    Espero que te haya servido!

    Esta respuesta ha sido escogida como la "Solución" por joseknfs. el 27 de junio de 2019 Ganados 15 puntos.

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  • Estudiante Enviada el 10 de enero de 2019 a Sucesiones numéricas.

    Hola Javialdair! En este caso el patrón de la sucesión que logro encontrar corresponde a multiplicar por dos y luego sumar tres sucesivamente.

    De tal forma, de 14 a 17 se han sumado 3, luego sigue multiplicar 17 por dos, lo que da 34. Luego solo faltaría sumarle 3 para obtener el siguiente número, tal que 34+3 = 37

    Por lo que la respuesta sería la C) 34, 37.

    Como extra (y el que menos creo que sea), otro patrón que de hecho es lo mismo en este intervalo, sería mutliplicar por dos si es número primero, y sumarle 3 si no lo es.

    En lo que respecta al análisis de sucesiones como esas (que son simples pero pueden llegar a confundir al principio), lo primero es analizar que relación existe entre un número y el siguiente o el anterior, con cada número (por ejemplo, la que sigue es el doble, o tiene tantas unidades más). De estas relaciones, luego se puede encontrar un patrón o ver alguna relación que coincida con todas.

    Esta respuesta ha sido escogida como la "Solución" por javialdair. el 27 de junio de 2019 Ganados 15 puntos.

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  • Estudiante Enviada el 4 de enero de 2019 a ? (sin clasificar).

    Hola Javialdair, esta pregunta es fácil de responder con unas operaciones sencillas. Básicamente, expresado en forma matemática lo anterior es equivalente a preguntarse:

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Podemos despejar esa igualdad de esta forma:

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Tal que

    (Ecuación 1)

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Luego, según el enunciado, el 30% de P es el 45% de Q, entonces tenemos una segunda igualdad:

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Si tomamos la ecuación uno, y separamos en dos fracciones distintas, entonces nos queda que

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Luego, sustituimos la igualdad de Q en dicha ecuación, obtenemos entonces:

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Realizamos la suma, y obtenemos entonces la respuesta x=60:

    RE: Ayuda de nuevo, por favor, he investigado que la respuesta es 60% pero no sé por qúe

    Espero que te haya servido!
    Saludos

    Esta respuesta ha sido escogida como la "Solución" por javialdair. el 4 de enero de 2019 Ganados 15 puntos.

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  • Estudiante Enviada el 4 de enero de 2019 a ? (sin clasificar).

    Buenas Ludwing,

    Este tipo de problemas tienden a resolverse por programaciones u otros métodos que nos permitan realizar las permutaciones de forma rápida (o bien por aproximaciones, como lo indico al final de la respuesta). Puesto que no existe un método o fórmula directa para resolver todos los casos generales (dentro de mi conocimiento), la opción que nos queda disponible es reducir la cantidad de posibilidades (permutaciones posibles) utilizando la lógica. Luego, no siempre hay solución única aún en estas condiciones, por ejemplo, para el caso de 1/3 encontramos dos soluciones válidas:

    • 5823/17469
    • 5832/17496

    Ahora, está claro que si lo que queremos es un “a” y un “b” tal que

    a/b = 1/d con “d” el denominador dado como problema, entonces d*a=b, y con esto nos podemos apoyar en gran medida para el razonamiento.

    Tomemos por ejemplo, el problema dado en la fotografía. Primero que nada, no existe otra forma más que el de arriba tenga 4 dígitos y el de abajo tenga 5 dígitos (ya que en total son 9, y no hay otra forma para que le de abajo sea el doble que el de arriba, para el caso de 1/2).

    Entonces:

    1. Vemos que el máximo número de arriba es 9876, por lo tanto, si el de abajo es doble, vemos que nunca podrá pasar el número 9876*2 = 1975, entonces, no queda más remedio que el primer dígito b1=1.
    2. Debido “a” que el número de arriba debe ser la mitad que el de arriba, entonces para alcanzar los 10000 necesarios de abajo, el primer dígito de “a” debe ser al menos 5000, sin embargo, 5a*** x 2 = 10*** cuando “a” es menor a 5, y tener un “0” en el denominador no es permitido. Luego, si “a” es mayor a 5, tenemos que 5a*** x 2 = 11*** y se repite el uno. Por lo tanto, el primer dígito de “a” debe ser un mínimo de 6. a1>=6
    3. Veamos que 2*a – b* = b1*10^(4) = 10000, donde b* es “b” sin su primer dígito. Véase que todo número multiplicado por un número par da par, por lo tanto 2*a es par, y como 10000 es par, b* no tiene más remedio que ser par. En consecuencia, “b” es par y termina con {2, 4, 6, 8}. Otra forma de ver esto, es darse cuenta que “b” es un múltiplo de dos, y en términos generales, múltiplo de “d”.
    4. El último dígito de “a” multiplicado por dos, debe dar un número cuyo último dígito sea uno de los números terminantes de “b”. Estos son {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}, pero el uno al estar ocupado, solo nos queda {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.

    A partir de aquí, según vamos escogiendo permutaciones o combinaciones, podremos descartar continuamente opciones, y aunque resulte largo, con esta lógica eventualmente se llega a una respuesta (en vez de intentar las 9! = 362880 posibles combinaciones). Veamos entonces una de ellas, que por suerte es la más cercana y rápida:

    1. Si a1=6, entonces “b” solo podrá terminar en {2, 4, 8}. Luego, “a” solo podrá terminar en {2, 4, 7, 9}. De aquí, cualquiera que se escoja en la terminación de “a”, dará directamente la terminación de “b”. Si “a” termina en 2, b terminará en 4, si “a” termina en 7, “b” terminará en 4, etc…
    2. Fácilmente se puede ver (incluso con el algoritmo de suma), que si “a” termina en 2 o 4, entonces el penúltimo dígito de “b” sera dos veces el penúltimo de “a”, luego si “a” termina en 7 o 9, el penúltimo dígito de “b” será dos veces el penúltimo de “a” más uno.
    3. Si a empieza con seis, entonces b=12*** o 13***. Si “b” empieza con 12, entonces b termina en {4, 8}, y “a” por lo tanto, termina en {7, 9}. Aquí fácilmente se puede probar (combinando) que es imposible realizar combinaciones con estos dígitos, debido a que se generan repeticiones.
    4. Debido al paso anterior, “b” debe empezar con “13***”, si a empieza con 6. Esto indica que el segundo dígito de “a” debar ser {7, 8, 9}, ya que 5 no puede ser (genera o un cero que es imposible, o un uno que ya está ocupado), y tampoco 6 (ya está ocupado). Luego menor que 5 no puede ser (ya que sino, b empezaría con 12***).

    En modo de resumen, utilizando la permutación con “a” empezando con “6”, y con base en los pasos anteriores, tenemos estas posibilidades (y realizando descartes por repeticiones):

    • a=67*9 => b=13**8 (1) Números restantes {2, 4, 5}
    • a=68*7 => b=13**4 (2) Números restantes {2, 5, 9}
    • a=69*7 => b=13**4 (3) Números restantes {2, 5, 8}

    Estos casos son más sencillos se analizar, empecemos con (3):

    • El penúltimo dígito de “a” puede ser 2, debido a que tendríamos 27*2=54, dejando a b=13854 y a=6927, y descubrimos unas respuesta válida: 6927/13854 = 1/2. Pero como aclaramos al inicio, debemos continuar puesto que pueden existir más de una respuesta.
    • El penúltimo dígito de “a” no puede ser 5, ya que se repetiría el “uno”.
    • El penúltimo dígito de “a” no puede ser 8, ya que repetiría el siete en “b”. 87*2 = 174

    Continuando de esta forma, también podemos encontrar el resultado de la imagen. Si utilizamos (1):

    • El penúltimo dígito de “a” puede ser dos, en ese caso 29*2 = 58, dejando a b=13458 y a=6729, y obtenemos la respuesta de la imagen, 6729/13458/=1/2
    • etc…

    Continuando de esta forma, despejamos las posibilidades. Al menos con el ejemplo dado, logramos encontrar dos respuestas válidas para 1/2:

    • 6927/13854 = 1/2
    • 6729/13458 = 1/2

    Por último, con una calculadora o algún otro medio, es posible utilizar una fracción cercana, por ejemplo 6000/12000 (véase también que las respuestas están cercanas a esta fracción) y realizar incrementos y decrementos en numerador y denominador siempre teniendo en cuenta que el de abajo sea dos veces mayor (o “d” veces mayor) que el de arriba, y luego buscar el caso donde estén los 9 dígitos.

    Espero que te haya servido de ayuda, y me disculpo si fue una respuesta un tanto larga. Si existe algún otro método, me gustaría también conocerlo.
    Saludos!

    Esta respuesta ha sido escogida como la "Solución" por ludwing. el 8 de enero de 2019 Ganados 15 puntos.

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